1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Trường hợp 1: Đường tròn (Q) và đường thẳng m tiếp xúc nhau tại P. Đường thẳng m là tiếp tuyến của đường tròn (Q)

Dựa vào các câu hỏi dưới đây hãy chứng minh nhận xét:

Nếu đường thẳng m là tiếp tuyến của đường tròn (Q) tại P thì m $\perp $ QP.

a, Giả sử đường thẳng m không vuông góc với QP. Khi đó đường thẳng vuông góc với m qua Q cắt đường thẳng m tại điểm R. Do m là tiếp tuyến với đường tròn (Q) nên R sẽ không nằm trên đường tròn (Q). So sánh độ dài hai đoạn thẳng QP và QR.

b, Dễ thấy R là hình chiếu cảu Q trên m. Vận dụng mối quan hệ của đường xiên và hình chiếu em hãy so sánh dộ dài hai đoạn thẳng QP và QR.

c, Từ a và b, em hãy cho biết giả định ban đầu có đúng hay không.

Hướng dẫn:

a, Khi đó xét tam giác QPR vuông tại R có QR là cạnh góc vuông, QP là cạnh huyền => QP > QR

b, Ta có định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên:

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Theo định lí trên, áp dụng với trường hợp này, R là hình chiếu của Q trên m => QR sẽ là đường ngắn nhất, khi đó QR sẽ bằng bán kính của đường tròn.

=> QP = QR

c, Từ a và b có giả định ban đầu là đúng.

Trường hợp 2: Đường tròn (Q) và đường thẳng m cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng m là cát tuyến của đường tròn (Q)

a, Trong trường hợp đường thẳng m không đi qua Q, gọi H là hình chiếu của Q trên m (hình 4.2b). Chứng minh rằng OH < R và HA = HB = $\sqrt{R^{2}-OH^{2}}$.

b, Xét đường tròn (Q) có bán kính R = 5cm, điểm Q cách đường thẳng m một khoảng bằng 3cm. Chứng minh rằng đường thẳng m cắt đường tròn (Q) tại hai diểm phân biệt A và B. Tính độ dài dây cung AB.

Hướng dẫn:

a, Xét tam giác OHB  vuông tại H có QB là cạnh huyền và QH là cạnh góc vuông

=> QH < QB mà QB = R => QH < R

HB = $\sqrt{QB^{2}-QH^{2}}$ = $\sqrt{R^{2}-QH^{2}}$

Xét tam giác QAB cân tại Q (QA = QB = R), có QH là đường cao ứng với cạnh AB => QH cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

=> H là trung điểm của AB hay AH = HB = $\sqrt{R^{2}-QH^{2}}$

b, Q cách m một khoảng bằng 3cm => QH = 3cm < R = 5cm=> H nằm trong đường tròn

=> m cắt đường tròn tại hai điểm A và B phân biệt.

AB = 2. $\sqrt{R^{2}-QH^{2}}$ = 2.$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 8cm

Trường hợp 3: Đường tròn (Q) và đường thẳng m không giao nhau

Xét đường tròn (Q) có bán kính R = 3cm, điểm Q cách đường thẳng m một khoảng bằng 5cm. Chứng minh rằng đường thẳng m và đường tròn (Q) không giao nhau. Hỏi rằng tập hợp tâm các đường tròn có tính chất như đường tròn (Q) nằm trên đường thẳng nào?

Hướng dẫn:

Q cách đường thẳng m một khoảng bằng 5cm => QH = 5cm > R = 3cm

=> H nằm ngoài đường tròn (Q) khi đó đường thẳng m sẽ không cắt đường tròn (Q)

Tập hợp tâm các đường tròn có tính chất như đường tròn (Q) nằm trên đường thẳng đi qua Q và cách đường thẳng m một khoảng lớn hơn R

2. Điền vào các ô trống còn thiếu trong bảng sau:

Hướng dẫn:

Hình vẽ
Nhận xét	Đường tròn (Q) và đường thẳng m cắt nhau	Đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn (Q)	Đường tròn (Q) và đường thẳng m không giao nhau
Số điểm chung	2	1	0
So sánh	QH < R	QH = R	QH > R