Giải câu 5 trang 105 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, AE $\perp $ EF và BF $\perp $ EF

=> Tứ giác AEFB là hình thang vuông

d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M => OM $\perp $ d hay OM $\perp $ EF

=> OM // AE // BF (cùng vuông góc với EF)

Xét hình thang AEFB có:

• O là trung điểm của AB
• OM // AE // BF 

=> M là trung điểm của EF (tính chất đường trung bình của hình thang)

=> ME = MF

b, Tam giác OMA cân tại O (OA = OM)

=> $\widehat{OAM}$ = $\widehat{OMA}$

Ta có:  $\widehat{OMA}$ +  $\widehat{AME}$ = $90^{0}$ (OM $\perp $ EF)

          $\widehat{EAM}$ +  $\widehat{AME}$ = $90^{0}$ (tam giác EMA vuông tại E)

=> $\widehat{EAM}$ = $\widehat{OMA}$

=> $\widehat{EAM}$ = $\widehat{OAM}$ (= $\widehat{OMA}$)

=> AM là phân giác của góc BAE.

c, Xét tam giác EAM vuông tại E và tam giác HAM vuông tại H có:

• Có chung cạnh huyền AM
• $\widehat{EAM}$ = $\widehat{OAM}$

=> $\Delta $EAM =  $\Delta $HAM (g.c.g)

=> EA = HA

d, Chứng minh tương tự phần b và c ta có BH = BF

Xét tam giác MAB vuông tại M (có đường trung tuyến MO ứng với cạnh BC bằng $\frac{1}{2}$ cạnh BC)

có MH là đường cao

=> MH$^{2}$ = HA.HB = AE.BF