1. Dựa vào những gợi ý dưới đây, em hãy cho biết đường thẳng m là tiếp tuyến với đường tròn (Q; R) theo dấu hiệu nhận biết nào? Phát biểu dấu hiệu nhận biết đó.

Dấu hiệu:

(1): m và (Q) có một điểm chung duy nhất.

(2): Khoảng cách từ tâm Q đến đường thẳng m bằng R 

Dấu hiệu (2) còn được phát biểu:

Nếu m $\perp $ QP với P nằm trên đường tròn (Q) thì m là tiếp tuyến của đường tròn (Q) tại P.

Hãy chứng minh dấu hiệu nhận biết (2) dựa vào những câu hỏi dưới đây:

a, Giả sử đường thẳng m không tiếp tuyến với đường tròn (Q). Khi đo đường thẳng vuông góc với m đi qua Q cắt đường thẳng m tại một điểm R không nằm trên đường tròn (Q). Do m $\perp $ QP nên tam giác QRP vuông tại P, có $\widehat{QRm}$ là góc ngoài đỉnh R, em hãy so sánh $\widehat{QPm}$ và $\widehat{QPR}$.

b, Dễ thấy R là hình chiếu của Q trên m. Xét tam giác vuông QRP vuông tại R có $\widehat{QPm}$ là góc ngoài đỉnh P, em hãy so sánh $\widehat{QPm}$ và $\widehat{QRP}$.

c, Từ hai câu hỏi a và b, em hãy cho biết điều giả định ban đầu có đúng hay không.

Hướng dẫn:

a, $\widehat{QRm}$ > $\widehat{QPR}$

b,  $\widehat{QPm}$ > $\widehat{QRP}$

c, Điều giả định là sai

Áp dụng: Trong các đường thẳng AB dưới đây, đường thẳng nào là tiếp tuyến với đường tròn (C)? Giải thích.

Hướng dẫn:

Đường thẳng AB ở hình a là tiếp tiếp của đường tròn (C):

Ta có:

Hình a: $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ => tam giác CAB vuông tại A (định lý py-ta-go đảo)

Hay CA $\perp $ AB

2. Cách dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn.

Dựng theo các bước như trong hình

a, Xác định tiếp tuyến khac AB của đường tròn (C) nhưng vẫn đi qua A.

b, Chứng minh cách dựng là đúng.

c, Trong trường hợp nào thì ta được đường tròn tâm M lớn hơn đường tròn tâm C? Khi đường tròn tâm M lớn hơn đường tròn tâm C thì có ảnh hưởng đến cách dựng tiếp tuyến của em hay không? Giải thích.

Hướng dẫn:

a, Gọi B' là giao điểm còn lại của đường tròn tâm M và đường tròn tâm C

AB' cũng là tiếp tuyên của đường tròn (C).

b, Xét tam giác CBA có:

BM là trung tuyến ứng với AC (M là trung điểm của AC)

MB = $\frac{1}{2}$AC (theo cách dựng MB là bán kính của đường tròn tâm M, AC là đường kính của đường tròn tâm M)

=> Tam giác CBA vuông tại B (tính chất tiếp tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

=> CB $\perp $ AB

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C với B là tiếp điểm

c, Đường tròn tâm M lớn hơn đường tròn tâm C khi trung điểm M của AC nằm ngoài đường tròn tâm C

Khi đường tròn tâm M quá lớn ta không thể dựng được tiếp tuyến của C vì khi đó đường tròn tâm M và tâm C không giao nhau hoặc tiếp xúc nhau.