Giải câu 4 trang 108 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Xét tam giác AEH vuông tại E có AH là cạnh huyền

O là trung điểm của AH => EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AEH

=> EO = $\frac{1}{2}$AH

=> OE cũng là một bán kính của đường tròn tâm O đường kính AH hay E nằm trên đường tròn tâm O đường kính AH.

b, F thuộc đường tròn tâm O => OF là bán kính của đường tròn => OF = $\frac{1}{2}$AH

Xét tam giác AHF có: 

• FO là trung tuyến ứng với cạnh AH (O là trung điểm của AH)
• OF = $\frac{1}{2}$AH

=> Tam giác AHF vuông tại F (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

=> HF $\perp $ AF hay HF $\perp $ AB

• H là giao điểm các đường cao của tam giác ABC => đường thẳng CH là đường cao của tam giác ABC

=> CH $\perp $ AB

• HF $\perp $ AB và CH $\perp $ AB => Ba điểm C, H, F thẳng hàng

c, Tam giác ABC cân tại A, AD là đường cao => AD cũng là đường trung tuyến => BD = DC

• Xét tam giác BEC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=> ED = $\frac{1}{2}$BC = CD

• Xét tam giác DEC có DE = DC

=> Tam giác DEC cân tại D => $\widehat{CED}$ = $\widehat{ECD}$

• Tam giác OAE cân tai O (OA = OE)

=> $\widehat{EAO}$ = $\widehat{OEA}$

• Ta có: $\widehat{HEO}$ + $\widehat{OEA}$ = 90$^{0}$ (vì $\widehat{BEA}$ = 90$^{0}$)

=> $\widehat{HEO}$ +  $\widehat{EAO}$ = 90$^{0}$ ($\widehat{EAO}$ = $\widehat{OEA}$) (1)

Mà $\widehat{EAO}$ + $\widehat{ECD}$ = 90$^{0}$ (vì $\widehat{ADC}$ = 90$^{0}$)

=> $\widehat{HEO}$ = $\widehat{ECD}$

=> $\widehat{HEO}$ = $\widehat{CED}$ (= $\widehat{ECD}$)

• $\widehat{CED}$ +  $\widehat{DEH}$ = 90$^{0}$ (vì $\widehat{CEH}$ = 90$^{0}$)

=> $\widehat{HEO}$  + $\widehat{DEH}$ = 90$^{0}$ ($\widehat{HEO}$ = $\widehat{CED}$)

<=> $\widehat{DEO}$ = 90$^{0}$ => DE $\perp $ OE

+ Xét đường tròn tâm O bán kính OE và đường thẳng DE có:

• E là điểm chung duy nhất;
• DE $\perp $ OE

=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E