Giải câu 5 trang 108 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Gọi O là tâm đường tròn đường kính EC => OK = OC = OE (bán kính của đường tròn)

+ Xét tam giác EKC có: 

• KO là trung tuyến ứng với cạnh EC (OE = OC)
• KO = $\frac{1}{2}$EC

=> Tam giác EKC vuông tại K (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

=> EK $\perp $ KC hay EK $\perp $ AC

+ EK $\perp $ AC và BA $\perp $ AC => EK // BA

+ Tứ giác AKEB có EK // BA => AKEB là hình thang

+ Hình thang AKEB có $\widehat{BAK}=90^{0}$

=> AKEB là hình thang vuông

b, Trên AK lấy I là trung điểm của AK => HI là đường trung bình của hình thang vuông AKEB 

=> HI $\perp $ AK

+ Xét tam giác AHI và KHI có:

• Chung cạnh HI
• AK = KI
• $\widehat{AIH}=\widehat{KIH}=90^{0}$

=> $\Delta $AHI = $\Delta $KHI (c.g.c)

=> AH = KH

+ Xét tam giác AHK có AH = KH

=> Tam giác AHK cân tại H

c,  $\widehat{HAK}=\widehat{AKH}$ (Tam giác AHK cân tại H)

Tam giác OKE cân tại O (OK = OE) => $\widehat{KEC}=\widehat{EKO}$

+ $\widehat{HAK}+\widehat{KCE}= 90^{0}$ (vì $\widehat{AHC}=90^{0}$)

+ $\widehat{KCE}+\widehat{KEC}= 90^{0}$ (Tam giác EKC vuông tại K)

=> $\widehat{HAK}=\widehat{KEC}$ 

=> $\widehat{HKA}=\widehat{KEC}$ (= $\widehat{HAK}$)

=> $\widehat{HKA}=\widehat{EKO}$ (= $\widehat{KEC}$)

+ Ta có: $\widehat{HKA}+\widehat{EKH}=\widehat{EKA}=90^{0}$ (Vì $\widehat{EKA}=90^{0}$)

=> $\widehat{EKO}+\widehat{EKH}=90^{0}$ (Vì $\widehat{HKA}=\widehat{EKO}$)

<=> $\widehat{HKO}=90^{0}$ => OK $\perp $ HK

+ Xét đường tròn tâm O và đường thẳng HK có:

• K là điểm chung duy nhất
• Bán kính OK $\perp $ HK

=> HK là tiếp tuyến của đường tròn O tại K