Giải câu 4 trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Với ab + a + b = 1 ta có:

+)  $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}$ = $\frac{a}{ab+a+b+a^{2}}+\frac{b}{ab+a+b+b^{2}}$ = $\frac{a}{a(a+b)+a+b}+\frac{b}{b(a+b)+a+b}$ 

= $\frac{a}{(a+b)(a+1)}+\frac{b}{(a+b)(b+1)}$ = $\frac{a.(b+1)}{(a+b)(a+1)(b+1)}+\frac{b(a+1)}{(a+b)(b+1)(a+1)}$ = $\frac{ab+a+ab+b)}{(a+b)(a+1)(b+1)}$

= $\frac{1+ab)}{(a+b)(ab+a+b+1)}$ = $\frac{1+ab)}{(a+b)(1+1)}$ = $\frac{1+ab}{2(a+b)}$ (1)

+) ab + a + b = 1 => ab = 1 - a - b

  $\sqrt{2(1+a^{2})(1+b^{2})}$ = $\sqrt{2(1+a^{2}+b^{2}+(ab)^{2})} = \sqrt{2(1+a^{2}+b^{2}+(1-a-b)^{2})}$

= $\sqrt{2(1+a^{2}+b^{2}+1-2a-2b+2ab+a^{2}+b^{2})}$ = $\sqrt{2(2+2a^{2}+2b^{2}-2a-2b+2ab)}$

= $\sqrt{2.2.(a^{2}+b^{2}+1-a-b+ab)}=\sqrt{2.2.(a^{2}+b^{2}+2ab)}=\sqrt{2.2.(a+b)^{2}}=2(a+b)$

=> $\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+a^{2})(1+b^{2})}}$ = $\frac{1+ab}{2(a+b)}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}$ = $\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+a^{2})(1+b^{2})}}$ 

=> Điều phải chứng minh