Giải câu 6 trang 34 sách phát triển năng lực toán 7 tập 1

a. 

Cách 1: Ta có:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad = bc$ (theo tính chất tỉ lệ thức)

Có: $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\Leftrightarrow a(c+d)=c(a+b)\Leftrightarrow ac+ad=ca+cb\Leftrightarrow ad=bc$ (luôn đúng)

Do đó: $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$

Cách 2: Ta có:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$

Cách 3: Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ = k

$\Rightarrow$ a = bk ; c = dk

Ta có:

$\frac{a}{a+b}=\frac{b.k}{b.k+b}=\frac{b.k}{(k+1).b}=\frac{k}{k+1}$

$\frac{c}{c+d}=\frac{d.k}{d.k+d}=\frac{d.k}{(k+1).d}=\frac{k}{k+1}$

Do đó:$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}=\frac{k}{k+1}$

b. Cách 1: Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow a.d = b.c$ (theo tính chất tỉ lệ thức)

Có: $\frac{5a+7b}{5a-7b}=\frac{5c+7d}{5c-7d}$ $\Leftrightarrow$ (5a+7b).(5c-7d)=(5a-7b).(5c+7d)

$\Leftrightarrow$ 25ac + 35bc - 35ad - 49bd = 25ac + 35ad - 35bc - 49bd

$\Leftrightarrow$ 25ac - 49bd = 25ac - 49bd (do ad = bc)

$\Leftrightarrow$ 0 = 0 (luôn đúng)

Vậy $\frac{5a+7b}{5a-7b}=\frac{5c+7d}{5c-7d}$

Cách 2: Ta có:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Nhân hai vế của tỉ lệ thức với $\frac{5}{7}$ ta được: $\frac{5a}{7b}=\frac{5c}{7d}\Rightarrow \frac{5a}{5c}=\frac{7b}{7d}$.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{5a}{5c}=\frac{7b}{7d}=\frac{5a+7b}{5c+7d}=\frac{5a-7b}{5c-7d}$

Từ $\frac{5a+7b}{5c+7d}=\frac{5a-7b}{5c-7d}\Rightarrow \frac{5a+7b}{5a-7b}=\frac{5c+7d}{5c-7d}$

Cách 3: Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ = k

$\Rightarrow$ a = bk ; c = dk

Ta có:

$\frac{5a+7b}{5a-7b}=\frac{5bk+7.b}{5bk-7b}=\frac{5k+7}{5k-7}$

$\frac{5c+7d}{5c-7d}=\frac{5dk+7.d}{5dk-7d}=\frac{5k+7}{5k-7}$

Do đó: $\frac{5a+7b}{5a-7b}=\frac{5c+7d}{5c-7d}=\frac{5k+7}{5k-7}$