A. LÝ THUYẾT

1. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc. Ở hình 2.1 hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau và cắt nhau tại O. Kí hiệu $AB\perp CD$. Ta còn có cách nói khác sau:

•  Đường thẳng ab vuông góc với đường thẳng CD tại O

•  Đường thẳng D vuông góc với đường thẳng AB tại O

•  Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau tại O

Để biểu thị sự vuông góc giữa hai đường thẳng, ta đánh dấu một hình vuông nhỏ tại giao điểm của hai đường thẳng vuông góc. Dựa vào tính chất của hai góc đối đỉnh và tính chất của hai góc kề bù ta dễ dàng suy ra các góc O₁; O₂; O₃ và O₄ đều là các góc vuông.

Ở hình 2.2, hai đường thẳng AB và CD vuông góc nhau tại S. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng? Giải thích.

a. S1 là góc vuông

b. $\widehat{S_{1}}=\widehat{S_{3}}$

c. $\widehat{S_{2}}=\widehat{S_{3}}$

d. Góc $\widehat{S_{1}}$ và $\widehat{S_{4}}$ là hai góc đối đỉnh.

e. Góc $\widehat{S_{1}}$ và $\widehat{S_{4}}$ là hai góc kề bù.

Hướng dẫn:

Các mệnh đề đúng là:

a. S₁ là góc vuông. Vì hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau.

b. $\widehat{S_{1}}=\widehat{S_{3}}$. Vì hai góc đều là góc vuông.

c. $\widehat{S_{2}}=\widehat{S_{3}}$. Vì hai góc đều là góc vuông.

e. Góc $\widehat{S_{1}}$ và $\widehat{S_{4}}$ là hai góc kề bù. Vì chúng có chung 1 tia và tổng hai góc bằng 180 độ.

2. Vẽ hai đường thẳng vuông góc

a. Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng l cho trước đi qua điểm T nằm trên đường thẳng l bằng thước kẻ và compa.

Bước 1: Đặt mũi nhọn compa tại điểm T và vẽ cung trong tâm T, và cắt đường thẳng l tại điểm D và K.

Bước 2: Vẽ cung tròn tâm D bán kính lớn hơn DT.

Bước 3: Vẽ cung tròn tâm K có cùng bán kính với cung tròn tâm D và cắt cung tròn tâm D tại S.

Bước 4: Sử dụng thước thẳng vẽ đường thẳng ST.

a1. Tìm số đo góc DTS và góc STK

a2. Cho biết mối quan hệ giữa đường thẳng ST và đường thẳng l.

a3. Qua hoạt động trên, em có thể dựng được bao nhiêu đường thẳng qua T và vuông góc với đường thẳng l. Liệu có thể dựng được một đường thẳng khác qua T và vuông góc với đường thẳng l hay không?
Hướng dẫn: 

a1. $\widehat{DTS}=90^{\circ}$; $\widehat{STK}=90^{\circ}$

a2. ST vuông góc với đường thẳng l

a3. Chỉ có thể dựng được 1 đường thẳng qua T và vuông góc với đường thẳng l.

b. Dựng đường thẳng đi qua điểm T nằm ngoài đường thẳng l và vuông góc với đường thẳng đó bằng thước kẻ và êke.

Bước 1: Đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với đường thẳng l, cạnh còn lại đi qua điểm T.

Bước 2: Đánh dấu điểm S trên đường thẳng l xác định bởi đỉnh góc vuông của êke.

Bước 3: Sử dụng thước kẻ, vẽ đường thẳng ST.

c. Đọc SGK Toán 7 - tập một, trang 85, điền vào chỗ chấm để hoàn thành nhận xét sau:

Có ....................... đường thẳng a' đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước.

Hướng dẫn:

Có một và chỉ một đường thẳng a' đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước.

3. Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường thẳng xy ở hình 2.4 được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Quan sát và cho biết: Để xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì cần phải thỏa mãn những điều kiện gì?

Điền vào chỗ chấm để hoàn thành định nghĩa sau:

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng .................... với đoạn thẳng đó tại .............. của nó.

Khi xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB ta cũng nói: Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng xy.

Vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng dưới đây:

Hướng dẫn:

xy là đường trung trực của AB thì cần thỏa mãn:

+ xy vuông góc với AB

+ xy đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB

•  Định nghĩa: 

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

• Ta vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng: