BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 2.25 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho tứ diện . Lấy là trọng tâm của tam giác . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án D.

Bài 2.26 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp . Lấy là trung điểm của đoạn thẳng . Vectơ bằng:

1. .
2. .
3. .
4. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án B. 

Bài 2.27 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp . Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án D. 

Bài 2.28 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho tứ diện đều có độ dài cạnh bằng , gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tích vô hướng bằng:

1. .
2. .
3. .
4. 

Giải nhanh:

Chọn đáp án B.

Bài 2.29 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho  , . Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án C.

Bài 2.30 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho hình bình hành có , và . Tọa độ của điểm là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án C.

Bài 2.31 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho , và . Biết tam giác có trọng tâm là điểm . Tọa độ của điểm là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án A.

Bài 2.32 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho , . Tích vô hướng bằng:

1. .
2. .
3. .
4. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án B.

Bài 2.33 trang 73 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho , . Góc giữa hai vectơ bằng:

1. .
2. .
3. .
4. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án B.

Bài 2.34 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho , . Côsin của góc giữa hai vectơ bằng:

1. .
2. .
3. .
4. .

Giải nhanh:

Chọn đáp án A.

B. TỰ LUẬN

Bài 2.35 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

Giải nhanh:

Gọi là tâm hình chữ nhật . Khi đó, là trung điểm của .

=>  ,

Ta có:

.

Vậy .

Bài 2.36 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho tứ diện , lấy hai điểm , thỏa mãn và . Hãy biểu diễn theo và .

Giải nhanh:

Ta có:

Ta có: (1)

(2)

Cộng (1) với (2) ta được: 

Bài 2.37 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp , gọi là trọng tâm của tam giác .

1. Biểu diễn theo , và .
2. Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm , và thẳng hàng.

Giải nhanh:

1. Gọi là giao điểm của và . 

Vì tứ giác là hình bình hành => là trung điểm của . 

=> là đường trung tuyến của tam giác . Mà là trọng tâm của tam giác => . 

Vì là trung điểm của  

=>  

.

Do đó  

Ta có:

1. Vì là hình hộp =>

Do đó, nên hai vectơ và cùng phương. Vậy ba điểm , và thẳng hàng.

Bài 2.38 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho các điểm , và .

1. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .
2. Tìm tọa độ điểm thuộc trục sao cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng .

Giải nhanh:

1. .
2. Vì   thuộc trục nên .

Ta có: ,

Vì vuông góc với  

=>.

Vậy thì đường thẳng vuông góc với đường thẳng .

Bài 2.39 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho hình hộp và các điểm , và . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Giải nhanh:

Ta có:

Vì là hình hộp nên 

là hình bình hành => =>

là hình hộp nên 

=>  

Bài 2.40 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho hai vectơ , .

1. Xác định tọa độ của vectơ .
2. Tính độ dài vectơ .
3. Tính .

Giải nhanh:

1. .
2. .
3. .

Bài 2.41 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian, cho các điểm , và .

1. Tìm tọa độ của vectơ và tính độ dài đoạn thẳng .
2. Tìm tọa độ điểm sao cho .
3. Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng , sao cho A, B, N thẳng hàng.

Giải nhanh:

1. .
2. Gọi thì .

Vì => .

1. Vì thuộc mặt phẳng nên tọa độ điểm là .

Ta có: ;

Để A, B, N  thẳng hàng thì hai vectơ , cùng phương => (với là số thực bất kì).

=> => .

Bài 2.42 trang 74 sách toán 12 tập 1 kntt

Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.

1. Lập một hệ trục tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
2. Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải nhanh:

1. Chọn hệ trục tọa độ như sau:

• Gốc trùng với một góc của phòng.
• Mặt phẳng trùng với trần nhà, mặt phẳng và mặt phẳng trùng với hai bức tường.
• Tọa độ của bóng đèn lúc đầu là .
• Tọa độ bóng đèn sau khi di chuyển là .