BÀI 17. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Phương trình mặt cầu

Hoạt động 1. Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kinh

Trong không gian , cho mặt cầu tâm bán kính (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi toạ độ của nó thỏa mãn điều kiện gì?

Giải nhanh:

Điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi:

Luyện tập 1.

Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình:

a) Xác định tâm và bán kính của .

b) Hỏi điểm nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu ?

Giải nhanh:

a) Mặt cầu có tâm và bán kính

b) Ta có:

=> nằm ngoài mặt cầu

Luyện tập 2.

Trong không gian , viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính .

b) Đường kính , với .

Giải nhanh:

a) Mặt cầu có tâm là gốc toạ độ và có bán kính nên có phương trình:

hay

b) Đoạn thẳng có trung điểm

Mặt cầu có tâm và bán kính:

=>

Luyện tập 3.

Trong không gian , cho là tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình:

Chứng minh rằng là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Giải nhanh:

Vậy là mặt cầu có tâm và có bán kính

Luyện tập 4.

Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình:

Xác định tâm, tính bán kính của

Giải nhanh:

Phương trình đã cho tương ứng với . Trong trường hợp này, . 

Do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm và bán kính

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Luyện tập 5. 

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí

Giải nhanh:

Do là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên

Ta có: hay

=>

Do đó

Vì thuộc mặt đất nên

Do đó

=>

Mặt khác, đường tròn tâm , đi qua có bán kính 1 và chu vi là ; nên

Do 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí xấp xỉ bằng

Trải nghiệm. 

Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí đến vị trí và so sánh với kết quả tính được ở Luyện tập 5.

GIẢI BÀI TẬP

Bài 5.25 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình .

Xác định tâm và bán kính của

Giải nhanh:

và bán kính

Bài 5.26 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , viết phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính

Giải nhanh:

Bài 5.27 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , viết phương trình của mặt cầu có tâm và có bán kính bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng

Giải nhanh:

Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

=>

Mặt cầu có tâm và bán kính nên có phương trình:

Bài 5.28 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt cầu

Xác định tâm, tính bán kính của .

Giải nhanh:

Ta viết lại phương trình của mặt cầu dưới dạng:

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

Bài 5.29 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a)

b)

c)

d)

Giải nhanh:

a) Phương trình đã cho tương ứng với . Trong trường hợp này, . Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu. 

b) Phương trình đã cho tương ứng với . Trong trường hợp này, . Do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm và bán kính . 

c) Không phải là phương trình của một mặt cầu.

d) Không phải là phương trình của một mặt cầu.

Bài 5.30 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí . Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Giải nhanh:

Ta có: . 

Do đó, điểm nằm ngoài đường tròn tâm bán kính 1

=> nằm ngoài vùng phủ sóng của thiết bị nói trên