BÀI 13. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng

Hoạt động 1. Nhận biết công thức tính diện tích

Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , trục hoành và hai đường thẳng (H.4.12)

a) Tính diện tích của hình phẳng này

b) Tính và so sánh với .

Giải nhanh:

a) 

Ta có:

Khi đó:

b)

Luyện tập 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , trục hoành và hai đường thẳng (H.4.15)

Giải nhanh:

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng

Hoạt động 2. Nhận biết công thức tính diện tích

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai đường thẳng (H.4.16)

a) Giả sử là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , trục hoành và hai đường thẳng ; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng  , trục hoành và hai đường thẳng . Tính và từ đó suy ra .

b) Tính và so sánh với .

Giải nhanh:

a) 

b)

Luyện tập 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và hai đường thẳng

Giải nhanh:

Vận dụng 1.

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau của đồ thị hàm cầu và đồ thị hàm cung được gọi là điểm cân bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang và đường thẳng đứng là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang và đường thẳng đứng được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi:

Hàm cầu: và hàm cung: , trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Giải nhanh:

Gọi điểm là điểm cân bằng

Khi đó:  

Giá trị thặng dư tiêu dùng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm cầu , hàm số và hai đường thẳng :

Giá trị thặng dư sản xuất là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm cung: , hàm số và hai đường thẳng :

2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích của vật thể

Hoạt động 3. Nhận biết công thức tính thể tích vật thể

Xét hình trụ có bán kính đáy , có trục là trục hoành , nằm giữa hai mặt phẳng () (H.4.20). 

a) Tính thể tích của hình trụ.

b) Tính diện tích mặt cắt khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ . Từ đó tính và so sánh với

Giải nhanh:

a)

b) Diện tích mặt cắt khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là:

Ta có:

Vận dụng 2.

Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là và chiều cao bằng (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng và chiều cao bằng .

Giải nhanh:

Chọn trục Ox sao cho gốc O trùng với đỉnh khối chóp đều

Các mặt phẳng vuông góc với trục cắt khối chóp đều tại điểm có hoành độ

Với a, b tương ứng là khoảng cách từ O đến đáy , chiều cao

Theo định lý Thalès ta có: 

Thể tích của khối chóp cụt đều là:

Ta có:     

Do đó         

Như vậy thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là và chiều cao bằng là:

Khối chóp đều có nên thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng và chiều cao bằng là:

b) Tính thể tích khối tròn xoay

Hoạt động 4. Nhận biết công thức tính thể tích của khối tròn xoay 

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng . Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành ta được khối nón có đỉnh là gốc , trục là và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25). 

a) Tính thể tích của khối nón.

b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là , do đó diện tích mặt cắt là .

Tính và so sánh với .

Giải nhanh:

a) Khối nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 2 nên có thể tích là:

b) 

Gọi điểm thuộc đồ thị hàm số

Khi đó, bán kính của mặt cắt thu được bằng

Diện tích mặt cắt là

Ta có:

Vận dụng 3. 

a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông trong mặt phẳng với , quanh trục (H.4.28). b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng và chiều cao .

Giải nhanh:

a) Ta có:

Đường thẳng có một vecto chỉ phương là nên có vecto pháp tuyến là

Mà thuộc nên đường thẳng có phương trình là:

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông trong mặt phẳng với , quanh trục là:

b)

GIẢI BÀI TẬP

Bài 4.14 trang 25 sách toán 12 tập 2 kntt

Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29

Giải nhanh:

Bài 4.15 trang 25 sách toán 12 tập 2 kntt

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường:

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

Bài 4.16 trang 25 sách toán 12 tập 2 kntt

Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh hoạ sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz , biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với , biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hoá bởi hàm số

,

trong đó x được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)

Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.

Giải nhanh:

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

Bài 4.17 trang 26 sách toán 12 tập 2 kntt

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục

Giải nhanh:

Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

Bài 4.18 trang 26 sách toán 12 tập 2 kntt

Khối chỏm cầu có bán kính và chiều cao sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình , trục hoành và hai đường thẳng xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Giải nhanh:

Thể tích của khối chỏm cầu này là:

Bài 4.19 trang 26 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho tam giác vuông có cạnh nằm trên trục và . Gọi là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác xung quanh trục (H.4.31)

a) Tính thể tích của theo

b) Tìm sao cho thể tích lớn nhất

Giải nhanh:

a) Khi quay miền tam giác xung quanh trục ta được khối nón có chiều cao và bán kính đáy

Vậy

b) Ta có:

Do đó với

=> Hàm số đồng biến trên khoảng

Như vậy thể tích lớn nhất khi , khi đó