BÀI 7: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục có chung gốc và đôi một vuông góc với nhau. Gọi là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).

1. Gọi tên các mặt phẳng tọa độ có trong Hình 2.35.
2. Các mặt phẳng tọa độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?

Giải nhanh:

1. .
2. Vì , và cắt nhau tại và nằm trong mặt phẳng nên . 

Mà => , =>

Chứng minh tương tự ta có:

Vậy ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.

Luyện tập 1: Cho hình hộp chữ nhật . Có thể lập một hệ tọa độ có gốc trùng với đỉnh và các vectơ lần lượt cùng hướng với các vectơ không? Giải thích vì sao.

Giải nhanh:

Vì là hình hộp chữ nhật => và đôi một vuông góc với nhau. 

Các vectơ cùng có điểm đầu là => có thể lập một hệ tọa độ có gốc trùng với đỉnh và các vectơ lần lượt cùng hướng với các vectơ .

2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 2: Hình thành khái niệm tọa độ của điểm trong không gian.

Trong không gian , cho một điểm không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật có ba đỉnh lần lượt thuộc các tia (H.2.37).

1. Hai vectơ và có bằng nhau hay không?
2. Giải thích vì sao có thể viết với là các số thực.

Giải nhanh:

1. Vì là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:

1. Vì là vectơ đơn vị trên trục nên với là số thực.

Vì là vectơ đơn vị trên trục nên với là số thực.

Vì là vectơ đơn vị trên trục nên với là số thực.

Do đó, với là số thực.

Luyện tập 2: Tìm tọa độ của điểm trong Hình 2.39.

Giải nhanh:

=> .

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm và .

Giải nhanh:

Ta có: .

Vì là hình bình hành => . 

=> Diểm có tọa độ .

Tương tự ta có điểm có tọa độ , điểm có tọa độ .

Vận dụng 1: Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn đối với hệ tọa độ đó.

Giải nhanh:

Mô tả: Hệ tọa độ có: 

• Mặt phẳng là sàn nhà, hai mặt phẳng hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
• Gốc tọa độ (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục . 

Khi đó, bóng đèn có tọa độ .

Hoạt động 3: Hình thành khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian.

Trong không gian , cho vectơ tùy ý (H.2.41). Lấy điểm sao cho và giải thích vì sao có bộ ba số sao cho .

Giải nhanh:

Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: . Mà nên . Do đó, có bộ ba số sao cho .

Luyện tập 4: Trong không gian , hãy xác định tọa độ của vectơ .

Giải nhanh:

.

Hoạt động 4: Thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút.

Trong không gian , cho hai điểm và .

1. Hãy biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ và .
2. Xác định tọa độ của vectơ .

Giải nhanh:

1. Ta có: ,
2. Ta có:

=> .

Luyện tập 5: Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm và sao cho là hình hộp.

Giải nhanh:

Gọi tọa độ của điểm là , tọa độ của điểm là , khi đó và .

Để là hình hộp => là hình bình hành.

Do đó, => . => .

Tương tự, .

Vận dụng 2: Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ có gốc trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục hướng về phía tây, trục hướng về phía nam và trục hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian được lấy theo kilômét.

Giải nhanh:

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890 km/h trong nửa giờ là:

(km)

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là .

GIẢI BÀI TẬP

Bài 2.13 trang 64 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho ba vectơ đều khác và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

1. Có thể lập một hệ tọa độ có các trục tọa độ lần lượt song song với giá của các vectơ .
2. Có thể lập một hệ tọa độ có các trục tọa độ lần lượt trùng với giá của các vectơ .
3. Có thể lập một hệ tọa độ có các vectơ lần lượt bằng các vectơ .
4. Có thể lập một hệ tọa độ có các vectơ lần lượt cùng phương các vectơ .

Giải nhanh:

Tất cả mệnh đề trên đều đúng.

Bài 2.14 trang 64 sách toán 12 tập 1 kntt

Hãy mô tả hệ tọa độ trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng .

Giải nhanh:

Bài 2.15 trang 65 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , xác định tọa độ của vectơ trong mỗi trường hợp sau:

1. và ;
2. và ;
3. và ;

Giải nhanh:

Bài 2.16 trang 65 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , xác định tọa độ của điểm trong mỗi trường hợp sau:

1. trùng với gốc tọa độ;
2. nằm trên tia và ;
3. nằm trên tia đối của tia và .

Giải nhanh:

1. .
2. 
3. .

Bài 2.17 trang 65 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có đỉnh trùng với gốc và các đỉnh có tọa độ lần lượt là (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Giải nhanh:

trùng với gốc tọa độ nên .

Vì thuộc tia nên hai vectơ và cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực sao cho . Mà nên .

Vì thuộc tia nên hai vectơ và cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực sao cho . Mà nên .

Bài 2.18 trang 65 sách toán 12 tập 1 kntt 

Trong không gian , cho hình hộp có .

1. Xác định tọa độ của điểm .
2. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Giải nhanh:

1. Ta có:

Vì là hình hộp => là hình bình hành. 

1. Vì là hình hộp nên:

Bài 2.19 trang 65 sách toán 12 tập 1 kntt 

Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng với là hai số thực nào đó.

Giải nhanh:

Khi máy bay di chuyển trên đường băng, tức là máy bay di chuyển ở trên mặt đất, tức là thuộc mặt phẳng . Do đó, máy bay khi di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng với là hai số thực nào đó.