BÀI 16. CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Hoạt động 1. Tìm mối quan hệ của góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vecto chỉ phương

Trong không gian , cho hai đường thẳng và tương ứng có các vectơ chỉ phương (H5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc ; và

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa ; và ?

Giải nhanh:

a) Hai đường thẳng và tương ứng có các vectơ chỉ phương là nên giá của // và giá của //

H5.34a: ;

H5.34b: ;

b)

Như vậy ; =

Luyện tập 1.

Trong không gian , tính góc giữa trục và đường thẳng .

Giải nhanh:

Trục và đường thẳng tương ứng có các vectơ chỉ phương là .

=>

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hoạt động 2. Tìm mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc giữa vectơ chỉ phương và vecto pháp tuyến tương ứng

Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Xét là một vecto chỉ phương của và (với giá ) là một vectơ pháp tuyến của (H5.35)

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc ; và

b) Có nhận xét gì về quan hệ giữa ; và ?

Giải nhanh:

a) ;

b) 

Như vậy ; =

Luyện tập 2.

Trong không gian , tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với:

Giải nhanh:

Đường thẳng có vecto chỉ phương là và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Khi đó:

=> Đường thẳng tạo với mặt phẳng góc

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Hoạt động 3. Tìm mối quan hệ của góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa vecto pháp tuyến 

Trong không gian , cho hai mặt phẳng tương ứng có các vecto pháp tuyến là . Lấy các đường thẳng tương ứng các vectơ chỉ phương . (H5.36)

a) Góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai đường thẳng có mối quan hệ gì?

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng .

Giải nhanh:

a)  

b) Ta có: ; =

=>

Luyện tập 3.

Trong không gian , tính góc giữa hai mặt phẳng:

và  

Giải nhanh:

Các mặt phẳng và tương ứng có các vectơ pháp tuyến là

=>

Vận dụng.

Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7m, 6m, 5m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Giải nhanh:

Ta có: 

Mặt phẳng có hai vecto chỉ phương

=> có vecto pháp tuyến  

Do đó cũng là vectơ pháp tuyến của

Mặt phẳng có hai vecto chỉ phương

=> có vecto pháp tuyến  

Do đó cũng là vectơ pháp tuyến của

=> Mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc

GIẢI BÀI TẬP

Bài 5.20 trang 53 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , tính góc giữa hai đường thẳng:

và

Giải nhanh:

Hai đường thẳng tương ứng có các vectơ chỉ phương là .

=>

Bài 5.21 trang 53 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , tính góc giữa trục và mặt phẳng

Giải nhanh:

Trục có vecto chỉ phương là và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Khi đó:

=> Trục tạo với mặt phẳng góc

Bài 5.22 trang 53 sách toán 12 tập 2 kntt

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Giải nhanh:

Đường thẳng có vecto chỉ phương là và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Khi đó:

=> Đường thẳng tạo với mặt phẳng góc

Bài 5.23 trang 53 sách toán 12 tập 2 kntt

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp , có đáy là hình vuông với cạnh dài 230m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Giải nhanh:

Do là hình vuông nên  

Xét vuông tại O:

Khi đó:

Ta có:

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Như vậy góc giữa hai mặt phẳng là

Bài 5.24 trang 53 sách toán 12 tập 2 kntt

(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm đến đáy bể tương ứng là 40cm, 44cm, 48cm.

a) Khoảng cách từ điểm đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Giải nhanh:

a) Kẻ hệ trục toạ độ Oxyz như hình bên.

Khi đó:

ABCD là hình bình hành nên ta có:

=>  

Như vậy khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng .

b) Mặt phẳng có hai vecto chỉ phương nên có vecto pháp tuyến . Do đó cũng là vectơ pháp tuyến của

Mặt phẳng có hai vecto chỉ phương nên có vecto pháp tuyến . 

=> Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc