BÀI 8: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

Hoạt động 1: Hình thành biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian.

Trong không gian , cho hai vectơ và .

1. Biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ đơn vị .
2. Biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ đơn vị , từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.

Giải nhanh:

1. Ta có: ; .
2. Ta có:  

=>

=> .

Luyện tập 1: Trong không gian , cho ba vectơ , và . Tìm tọa độ của vectơ .

Giải nhanh:

Hoạt động 2: Thiết lập tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác.

Trong không gian , cho tam giác có , và .

1. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .
2. Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .

Giải nhanh:

Ta có: , ,

1. Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên:

.  => .

1. Vì là trọng tâm của tam giác nên:

. 

=>

Luyện tập 2: Trong không gian , cho ba điểm và . Tìm tọa độ điểm sao cho tam giác nhận là trọng tâm.

Giải nhanh:

Để là trọng tâm của tam giác thì:

Vậy .

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Hoạt động 3: Thiết lập biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian.

Trong không gian , cho hai vectơ và .

1. Giải thích vì sao và .
2. Sử dụng biểu diễn để tính các tích vô hướng và .
3. Sử dụng biểu diễn để tính tích vô hướng .

Giải nhanh:

1. Ta có:

Vì .

1. Ta có: 

1. Ta có: 

Mà ; ; nên .

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 3, tính .

Giải nhanh:

Ta có:

=>

Luyện tập 4: Trong không gian , cho , và .

1. Tính chu vi của tam giác .
2. Tính .

Giải nhanh:

1. Ta có:

;

;

;

Vậy chu vi tam giác là: .

1. Vì

Nên .

3. VẬN DỤNG TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Luyện tập 5: Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Giải nhanh:

Gọi là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B). 

Vì hướng của máy bay không đổi => và cùng hướng. 

Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D => => .

Mặt khác, nên

Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là D

Luyện tập 6: Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc α.

Giải nhanh:

Ta có: cm; ; .

Do đó, cm

. Vậy .

Luyện tập 7: Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Giải nhanh:

Ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là , khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .

=> (km), 

(km).

Vì gốc đặt tại điểm xuất phát và nên khinh khí cầu thứ hai gần điểm xuất phát hơn.

GIẢI BÀI TẬP

Bài 2.20 trang 72 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho ba vectơ và .

1. Tìm tọa độ của các vectơ và .
2. Tính các tích vô hướng và .

Giải nhanh:

=> .

Bài 2.21 trang 72 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho ba điểm và .

1. Tìm tọa độ của các vectơ , từ đó chứng minh rằng ba điểm không thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ của vectơ , từ đó suy ra tọa độ của điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.
3. Tính chu vi của hình bình hành .

Giải nhanh:

1. Ta có:

Vì  => không cùng phương. 

=> không thẳng hàng.

1. Ta có: , =>

Gọi tọa độ điểm là , ta có:

Để tứ giác là hình bình hành thì .

=>  . Vậy

1. Ta có: 

,

.

Vậy chu vi hình bình hành là: .

Bài 2.22 trang 72 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian , cho tam giác có , và .

1. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .
2. Chứng minh rằng .
3. Tính .

Giải nhanh:

1. .
2. Ta có:

Vì nên . Do đó, .

1. Ta có: ;

Vì tam giác vuông tại nên

Bài 2.23 trang 72 sách toán 12 tập 1 kntt

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với một góc phòng và mặt phẳng trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Giải nhanh:

Ta có: , .

Vì phòng học thiết kế dạng hình hộp chữ nhật => là hình chữ nhật. 

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và  

=> là trung điểm của và

Vì đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học => đèn trùng với điểm .

Ta có: => . 

Vậy tọa độ của điểm treo đèn là .

Bài 2.24 trang 72 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian, xét hệ tọa độ có gốc trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục hướng về phía tây, trục hướng về phía nam và trục hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Giải nhanh:

=> Ra đa không thể phát hiện được.