BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

Hoạt động 1: Nhận biết đường tiệm cận ngang.

Cho hàm số có đồ thị (C). Với , xét điểm thuộc (C). Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng (H.1.19).

1. Tính khoảng cách .
2. Có nhận xét gì về khoảng cách khi ?

Giải nhanh:

1. Ta có các điểm và .

(do )

1. Ta có: => thì .

Luyện tập 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .

Giải nhanh:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .

Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải nhanh:

khi .

Trên Hình 1.18, khi thì càng tiến sát tới trục hoành nhưng không tiếp xúc.

2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Hoạt động 2: Nhận biết đường tiệm cận đứng.

Cho hàm số có đồ thị (C). Với , xét điểm thuộc (C). Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng (H.1.22).

1. Tính khoảng cách .
2. Khi thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm ?

Giải nhanh:

1. Ta có các điểm và

(do )

1. Khi thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách dần đến 0, ta thấy điểm tiến đến phía trên.

Luyện tập 2: Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Giải nhanh:

Ta có: ; . Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là .

Ta có: ; . Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

Vận dụng 2: Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là (triệu đồng), với .

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

Giải nhanh:

  => Tiệm cận đứng là .

Tiệm cận đứng của đồ thị cho biết việc loại bỏ hoàn toàn loại tảo độc khỏi hồ nước đó là không thể dù có tốn bao nhiêu chi phí.

3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN

Hoạt động 3: Nhận biết đường tiệm cận xiên.

Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng như Hình 1.24.

1. Với , xét điểm thuộc (C). Gọi là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng . Có nhận xét gì về khoảng cách khi ?
2. Chứng tỏ rằng . Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Giải nhanh:

1. tiến dần đến thì khoảng cách tiến dần đến 0.
2. Ta có:

.

=>  Khoảng cách từ điểm trên (C) đến đường thẳng tiến đến 0 khi .

Luyện tập 3: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .

Giải nhanh:

;

=> đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng .

;

=> đồ thị có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1.16 trang 25 sách toán 12 tập 1 kntt

Hình 1.26 là đồ thị của hàm số .

Sử dụng đồ thị này, hãy:

1. Viết kết quả của các giới hạn sau: ;; ; .
2. Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Giải nhanh:

1. ; ; ; .
2. Hàm số có hai tiệm cận đứng là và và một tiệm cận ngang là .

Bài 1.17 trang 25 sách toán 12 tập 1 kntt

Đường thẳng có phải là tiệm cận đứng của hàm số không?

Giải nhanh:

;

;

=>   không phải là tiệm cận đứng của hàm số.

Bài 1.18 trang 25 sách toán 12 tập 1 kntt

Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

1. ;
2. .

Giải nhanh:

a)

;

=> Hàm số có một tiệm cận ngang là .

;

=> Hàm số có tiệm cận đứng là .

b)

 ;  

=> Hàm số không có tiệm cận đứng.

;

=> Hàm số có một tiệm cận ngang là .

=> Hàm số có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

Bài 1.19 trang 25 sách toán 12 tập 1 kntt

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất (sản phẩm) là

(triệu đồng).

Khi đó là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số giảm và . Tính chất này nói lên điều gì?

Giải nhanh:

Vì với mọi số thực nên hàm số giảm.

(điều phải chứng minh)

=> Sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình giảm nhưng không dưới 2 triệu đồng.

Bài 1.20 trang 25 sách toán 12 tập 1 kntt

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m². Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là (m).

1. Viết biểu thức tính chu vi (mét) của mảnh vườn.
2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .

Giải nhanh:

1. Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là: (m)

=> Chu vi mảnh vườn  (m)

1. Ta có: ;

=> Đồ thị hàm số  không có tiệm cận ngang.

Ta có: ;

=> Đồ thị hàm số  có một tiệm cận đứng là .

Ta có:

=> Đồ thị hàm số  có một tiệm cận xiên là .