BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Cho hàm số với , có đồ thị như Hình 1.15.

1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là bao nhiêu? Tìm sao cho .
2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là bao nhiêu? Tìm sao cho .

Giải nhanh:

1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là . 

Tại thì .

1.  Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là . 

Tại thì .

Luyện tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

1. ;
2. trên khoảng .

Giải nhanh:

1. Tập xác định của hàm số là .

Với , ta có: ; 

    (thỏa mãn).

2. CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Hoạt động 2: Hình thành các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Xét hàm số trên đoạn , với đồ thị như Hình 1.16.

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
2. Tính đạo hàm và tìm các điểm mà .
3. Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn và tại các điểm đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với , số lớn nhất trong các giá trị này với .

Giải nhanh:

• ;
• ;

1. Với , ta có: ;

Vậy tại các điểm hoặc thì .

1. Ta có:

; ;

; .

• Trong các số trên, số có giá trị nhỏ nhất là , số có giá trị lớn nhất là .

Ta thấy: ; .

Luyện tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1. trên đoạn ;
2. trên đoạn .

Giải nhanh:

1. ;

=> Hàm số đồng biến trên đoạn .

=> ; .

1. ;

: (thỏa mãn)

; ;

=> ; .

Vận dụng: Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số , trong đó là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và là thời gian (tuần).

1. Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
2. Đạo hàm biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Giải nhanh:

1. Với , ta có:

;

Ta có: ; ; .

Do đó số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó là 256 người.

1. Với , ta có:

; (thỏa mãn)

; ; .

Do đó virus sẽ lây lan nhanh nhất sau 4 tuần ().

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1.10 trang 19 sách toán 12 tập 1 kntt

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

1. ;
2.  trên ;
3. trên ;
4. .

Giải nhanh:

1. Tập xác định: .

; (thỏa mãn)

=>  và

1. Tập xác định: .

Ta có: ; 

(thỏa mãn)

=>  và .

Bài 1.12 trang 19 sách toán 12 tập 1 kntt

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1. trên đoạn ;
2.  trên đoạn ;
3. trên đoạn ;
4. trên đoạn .

Giải nhanh:

1. , ta có:

; (thỏa mãn)

; ;

=> ; .

1. , ta có:

;

; ;

=> ; .

1. , ta có:

;

Mà và

; ;

;

=> ; .

1. , ta có:

;

; ;

=> ; .

Bài 1.13 trang 19 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Giải nhanh:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là (cm) và  

chiều rộng là (cm).

 (cm²)

, ;

(thỏa mãn)

=>  .

Bài 1.14 trang 19 sách toán 12 tập 1 kntt

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Giải nhanh:

(cm²) → (cm)

→  (cm³)

, ta có:

;  

=> (cm³) với  cm và  (cm)

Bài 1.15 trang 19 sách toán 12 tập 1 kntt

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm², trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Giải nhanh:

Gọi bán kính của hai đáy bình là (cm), chiều cao của bình là (cm) ).

(cm³) => (cm)

Gọi chi phí vật liệu sản xuất một chiếc bình là:

(nghìn đồng)

, ta có: ; 

(thỏa mãn)