BÀI 10: PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

1. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

Hoạt động 1: Trở lại bài toan trong tình huống mở đầu. Gọi là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc).

1. Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không?
2. Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Giải nhanh:

1. Không thể.
2.  

• Tìm lần lượt là giá trị đại diện của các nhóm ; ; ; ; .
• Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
• Tính phương sai:
• Tính độ lệch chuẩn: .

Khi đó, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc lần lượt xấp xỉ với các giá trị và .

Luyện tập 1: Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100 m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?

Giải nhanh:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Tổng số vận động viên là: .

Thời gian chạy trung bình của các vận động viên là:

(giây)

Phương sai của mẫu số liệu là:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: .

Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Do đó, với mẫu số liệu gốc, phương sai xấp xỉ 0,0299 và độ lệch chuẩn xấp xỉ 0,17 giây.

Vận dụng: Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.

Giải nhanh:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Độ ẩm trung bình trong 20 lần đo là:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

Vì nên không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.

2. SỬ DỤNG PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN ĐO ĐỘ RỦI RO

GIẢI BÀI TẬP

Bài 3.4 trang 84 sách toán 12 tập 1 kntt

Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau:

1. Thay dấu “?” bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau.

1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Giải nhanh:

1. Với mẫu số liệu gốc:

Giá trị trung bình là: ; tổng bình phương độ lệch:

Phương sai: ; độ lệch chuẩn:

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện:

Giá trị trung bình:

Phương sai:

Độ lệch chuẩn:

Giá trị tính từ mẫu số liệu gốc là chính xác, giá trị tính từ mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ.

Bài 3.5 trang 84 sách toán 12 tập 1 kntt

Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.

Giải nhanh:

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện:

Xét phân xưởng 1:

Giá trị trung bình: ; phương sai: ; độ lệch chuẩn:

Xét phân xưởng 2:

Giá trị trung bình: ; phương sai: ; độ lệch chuẩn:

Vì nên độ phân tán của phân xưởng 1 lớn hơn độ phân tán của phân xưởng 2.

Bài 3.6 trang 84 sách toán 12 tập 1 kntt

Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:

1. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
2. Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?

Giải nhanh:

1. Mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện:

Giá trị trung bình: ; phương sai: ; độ lệch chuẩn:

1. Số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc => mẫu số liệu gốc có số trung bình xấp xỉ μm và độ lệch chuẩn xấp xỉ μm.

Bài 3.7 trang 84 sách toán 12 tập 1 kntt

Thời gian chạy tập luyện cự li 100 m của hai vận động viên được cho trong bảng sau:

Dựa trên độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.

Giải nhanh:

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện: 

Xét vận động viên A:

Giá trị trung bình: ; phương sai: ; độ lệch chuẩn:

Xét vận động viên B:

Giá trị trung bình: ; phương sai: ; độ lệch chuẩn:

Vì nên vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn.

Bài 3.8 trang 84 sách toán 12 tập 1 kntt

Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?

1. Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.
2. Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị.

Giải nhanh:

1. Có nên vì 2 trường này có chất lượng tương đương nhau
2. Không vì doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và 100 siêu thị là không gần tương đương nhau.