BÀI 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN 

THỰC TIỄN

1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG

Luyện tập 1: Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số

,

trong đó thời gian được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.

Giải nhanh:

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau giây là:

=>

Vậy tốc độ thay đổi của huyết áp sau giây kể từ khi máu rời tim là giảm .

2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA ĐƠN GIẢN

Luyện tập 2: Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Giải nhanh:

Gọi độ dài đoạn là (km),

Độ dài quãng đường : (km)

Thời gian đi hết quãng đường : (h)

Độ dài quãng đường : (km)

Thời gian đi hết quãng đường : (h)

Thời gian người đó đi đến bằng cách chèo thuyền đến một điểm nào đó giữa và rồi chạy bộ đến : (h) 

Gọi độ dài quãng đường cần tìm trên là . Với, ta có: 

;

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy anh An phải chèo thuyền đến điểm cách một đoạn km thì sẽ đến sớm nhất.

Vận dụng: Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

     a. Tìm hàm cầu.

     b. Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

     c. Nếu hàm chi phí hằng tuần là (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

Giải nhanh:

Gọi (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, là số ti vi. Khi đó ta cần xác định hàm cầu .

Theo giả thiết tốc độ thay đổi của tỉ lệ với tốc độ thay đổi của . Do đó hàm số là hàm số bậc nhất và .

Ta có: thì ; thì

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và nên ta có hệ phương trình:

Vậy .

b) Vì nên .

Khi đó, tổng doanh thu từ tiền bán ti vi là:

Ta có: ;

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy công ty giảm giá 4,5 triệu đồng cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.

1. Doanh thu từ bán ti vi là: 

Tổng lợi nhuận từ bán ti vi là:

Ta có: ;

Bảng biến thiên:

Số ti vi bán ra trong 1 tuần là chiếc thì lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, tức mỗi tuần bán thêm chiếc thì số tiền phải giảm giá là: (nghìn đồng).

Vậy phải để giá bán là (triệu đồng).

BÀI TẬP

Bài 1.26 trang 40 sách toán 12 tập 1 kntt

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm (giây) là .

1. Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
2. Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
3. Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian .
4. Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Giải nhanh:

1. Hàm vận tốc là: ,

Hàm gia tốc là: ,

1. Hạt chuyển động lên trên khi (do )

Hạt chuyển động xuống dưới khi

1. Ta có:

Vậy quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian là m.

1. Hạt tăng tốc khi .

Hạt giảm tốc khi (loại do ).

Bài 1.27 trang 41 sách toán 12 tập 1 kntt

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất đơn vị hàng hóa nào đó là:

.

1. Tìm hàm chi phí biên.
2. Tìm và giải thích ý nghĩa của nó.
3. So sánh với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

Giải nhanh:

1. Ta có hàm chi phí biên:
2. (trăm nghìn đồng)

Chi phí biên tại là đồng => chi phí để sản xuất thêm 1 đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị hàng hóa thứ 101) là khoảng đồng.

1. Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 là:

(trăm nghìn đồng)

=> chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 này lớn hơn chi phí biên C'(100).

Bài 1.28 trang 41 sách toán 12 tập 1 kntt

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Giải nhanh:

Gọi là số lần tăng giá. .

Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là: (căn hộ)

Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là:

Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:

Ta có: ;

Bảng biến thiên:

=> Doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là: (triệu đồng).

Bài 1.28 trang 41 sách toán 12 tập 1 kntt

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức

Trong đó là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

1. Tìm công thức tính như là hàm số của . Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

• Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán tăng;
• Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn .

Giải nhanh:

1. Ta có:

Vì nên

.

Số sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng là:

1.  
2. .
3. Sự biến thiên:

Tiệm cận: . 

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm và đi qua các điểm và .

Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng và sẽ không bán được sản phầm nào nếu giá bán là nghìn đồng.

Ý nghĩa thực tiễn của : Vì nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.