BÀI 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. KHÁI NIỆM VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

1. Vecto, giá và độ dài của vecto, hai vecto cùng phương, hai vecto cùng hướng;
2. Vecto-không;
3. Hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau.

Giải nhanh:

a) 

Vecto là một đoạn thẳng có hướng.

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vecto cùng hướng khi chúng có cùng chiều từ điểm đầu đến điểm cuối.

b) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ký hiệu là .

c) Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ , ký hiệu là . Hai vecto và được gọi là hai vectơ đối nhau.

Luyện tập 1: Cho hình hộp . Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:

1. Bằng vecto ;
2. Là vectơ đối của vectơ .

Giải nhanh:

1. Do các vecto , , cùng hướng với vectơ và (tính chất hình hộp) nên .

Như vậy ba vecto , , có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vecto .

1. Do các vecto , , ngược hướng với vectơ và (tính chất hình hộp) 

=> Ba vecto , , là ba vectơ đối của vecto

II. CÁC PHÉP TOÁN VECTO TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 2: Trong không gian, cho hai vecto , . Lấy một điểm tùy ý.

1. Vẽ , .
2. Tổng của hai vecto và bằng vecto nào trong Hình 4?

Giải nhanh:

a) 

b) Ta có: .

Như vậy tổng của hai vectơ và bằng vecto

Luyện tập 2: Cho tứ diện . Chứng minh rằng .

Giải nhanh:

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

Hoạt động 3: Cho hình hộp (Hình 6). Tìm liên hệ giữa: và ; và . Từ đó, hãy suy ra rằng: .

Giải nhanh:

Vì là hình hộp nên và là các hình bình hành.

Do là hình bình hành nên ta có: .

Do là hình bình hành nên ta có: .

=>

Vậy

Luyện tập 3: Cho hình hộp . Chứng minh rằng: 

Giải nhanh:

Vì là hình hộp nên ta có: , .

=>

Hoạt động 4: Trong không gian, cho hai vecto , . Lấy một điểm tùy ý.

1. Vẽ , , .
2. Tổng của hai vecto và bằng vecto nào trong Hình 7?

Giải nhanh:

a) 

b)

Vậy tổng của hai vecto và  =

Luyện tập 4: Cho hình hộp . Chứng minh rằng:

Giải nhanh:

Hoạt động 5: Nêu định nghĩa của một số thực và vecto trong mặt phẳng. 

Giải nhanh:

Cho số thực và vecto . Tích của một số với vecto là một vecto, ký hiệu là , được xác định như sau:

Cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu ;

Có độ dài bằng

Luyện tập 5: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và , là trung điểm . Chứng minh rằng:

1. ;
2. .

Giải nhanh:

a) Vì là trung điểm của nên với điểm , ta có: .

Theo quy tắc ba điểm, ta có: , .

Lại có là trung điểm của nên .

=>  

b) Vì , lần lượt là trung điểm của các cạnh và nên ta có: 

, .

=>

Vì là trung điểm nên . 

=>

Hoạt động 6: Trong không gian, cho hai vecto , khác . Lấy một điểm tùy ý. 

1. Vẽ hai vecto , .
2. Khi đó, hai vecto , có giá nằm trong cùng mặt phẳng (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vecto , trong mặt phẳng .

Giải nhanh:

1. Hình 10.
2. Định nghĩa góc giữa hai vectơ , trong mặt phẳng : Góc giữa hai vectơ , là góc giữa hai tia , và được ký hiệu là .

Luyện tập 6: Cho tứ diện đều . Gọi , lần lượt là trung điểm các cạnh , . Hãy tính góc giữa hai vectơ , .

Giải nhanh:

Vì , lần lượt là trung điểm các cạnh , nên là đường trung bình của tam giác , do đó và . Suy ra .

Gọi là trung điểm của . Ta có: .

=> .

Do đó, .

Vì là tứ diện đều nên tam giác đều => .

Như vậy

Hoạt động 7: Trong không gian, cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng 3 cm (Hình 12).

1. Tính góc giữa hai vecto , .
2. Tính .

Giải nhanh:

1. Ta có: . Do đó, .

Vì là hình lập phương nên là hình vuông.

=> . Vậy .

1. Theo định lý Pythagore, ta có:

(cm)

Ta có: (cm), (cm),

Do đó,

Luyện tập 7: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính ; .

Giải nhanh:

Ta có: . Do đó, .

Vì là hình lập phương nên là hình vuông.

=> . Vậy .

Ta có: , .

Do đó, .

Ta có: . Do đó, .

Vì là hình lập phương nên là hình vuông.

=> . 

Như vậy

Ta có: , .

Do đó,

GIẢI CHI TIẾT 

Bài 1: Cho hình hộp . Vecto bằng vecto nào dưới đây?

Giải nhanh:

A.

Bài 2: Cho tứ diện . Chứng minh rằng:

a)

b)

Giải nhanh:

1. Theo quy tắc ba điểm, ta có: .

=> .

1. Theo quy tắc ba điểm, ta có: .

=> .

Bài 3: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính:

a) ;	b) Các góc ;

Giải nhanh:

1. Ta có: .

Do đó, .

Vì là hình lập phương nên là hình vuông.

=> . 

Như vậy .

Ta có, ,  .

Do đó, .

Ta có: . Do đó, .

Vì là hình lập phương nên là hình vuông.

=> . V

Như vậy .

Ta có, , .

Do đó, .

1. Ta có: . 

Do đó, .

Vì là hình lập phương nên là hình vuông.

=>

Như vậy .

Ta có: .

Do đó, .

Ta tính được nên tam giác là tam giác đều.

=>

Như vậy

Bài 4: Cho hình hộp . Gọi là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng .

Giải nhanh:

Vì là trọng tâm tam giác nên với điểm , ta luôn có:

(quy tắc hình hộp).

Vì là hình hộp nên (quy tắc hình hộp).

=> . 

Như vậy

Bài 5: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật, mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp , , , có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng 60^o. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biến rằng các lực căng , , , đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3000 N.

Giải nhanh:

Gọi , , , lần lượt là các điểm sao cho , , , .

Vì , , , có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng 60^o nên , , , bằng nhau và cùng tạo với một góc bằng 60^o.

Vì là hình chữ nhật nên cũng là hình chữ nhật.

Gọi là tâm của hình chữ nhật .

=> .

Do đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

=> .

Ta có: (N) nên .

Tam giác vuông tại nên .

Theo quy tắc ba điểm, ta có , , , .

Vì là trung điểm của và nên , .

=> .

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên , ở đó là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô là 

(N)

Trọng lượng của chiếc xe ô tô là:

(N).