BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. NHẬN BIẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ BẰNG DẤU CỦA ĐẠO HÀM

Hoạt động 1: 

1. Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập , trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
2. Cho hàm số có đồ thị như Hình 2.

• Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. 
• Xét dấu của đạo hàm .
• Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng .
• Hoàn thành bảng biến thiên sau:

Giải nhanh:

1. Cho là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và là hàm số xác định trên .

• Hàm số được gọi là hàm số đồng biến trên nếu với mọi , thuộc và thì .
• Hàm số được gọi là hàm số đồng biến trên nếu với mọi , thuộc và thì .
• Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên còn được gọi là hàm số đơn điệu trên .

• Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
• Đạo hàm âm khi và dương khi .
• Hàm số nghịch biến khi mang dấu âm và đồng biến khi mang dấu dương.
• Bảng biến thiên sau:

Luyện tập 1: Xét dấu rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: .

Giải nhanh:

Tập xác định .

Ta có: .

Xét ↔

Như vậy hàm số đồng biến trên ℝ

Luyện tập 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: .

Giải nhanh:

Tập xác định

Ta có:

Xét ↔

Ta có bảng biến thiên:

Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng

Hoạt động 2:

1. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .
2. Xét dấu của đạo hàm .
3. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Giải nhanh:

1. Tập xác định .

Ta có: .

Xét ↔.

Bảng biến thiên: 

Như vậy hàm số đồng biến trên ℝ

b) luôn dương với mọi

c) Phương trình có một nghiệm

Luyện tập 3: Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên nửa khoảng và đồng biến trên nửa khoảng .

Giải nhanh:

a) Tập xác định

Ta có: .

Xét ↔ .

Ta có bảng biến thiên:

Như vậy hàm số nghịch biến trên nửa khoảng và đồng biến trên nửa khoảng

Luyện tập 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: .

Giải nhanh:

.

Ta có: .

Nhận xét: với mọi .

Ta có bảng biến thiên:

Như vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và

II. ĐIỂM CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hoạt động 3: Dựa vào đồ thị hàm số ở Hình 3, hãy so sánh:

1. với mỗi giá trị , ở đó và ;
2. với mỗi giá trị , ở đó và .

Giải nhanh:

1. Ta thấy rằng với mọi và .
2. Ta thấy rằng với mọi và .

Hoạt động 4: Quan sát các bảng biến thiên dưới đây và cho biết:

1. có là điểm cực đại của hàm số hay không;
2. có là điểm cực tiểu của hàm số hay không

Giải nhanh:

1. có là điểm cực đại của hàm số
2. có là điểm cực tiểu của hàm số

Luyện tập 5: Tìm điểm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau:

1. ;
2. .

Giải nhanh:

1. .

Ta có: .

Xét ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Như vậy hàm số đạt cực tiểu tại .

1. .

Ta có: .

Xét: với

Ta có bảng biến thiên sau:

Như vậy hàm số không có điểm cực trị

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Giải nhanh:

D.

Bài 2: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

Giải nhanh:

C. -4

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau: 

a)	b)
c) ;	d)

Giải nhanh:

a) 

Ta có: .

Xét ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng và .

b)

Ta có: .

Xét ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng và và nghịch biến trên khoảng và .

Ta có: .

Xét với

Ta có bảng biến thiên sau: 

Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng và

1. .

Ta có: .

Xét ↔ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng và và nghịch biến trên khoảng và

Bài 4: Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: 

Giải nhanh:

1. .

Ta có: .

Xét ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm và đạt cực tiểu tại .

Ta có:

Xét ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại .

Ta có: .

Xét với

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số không có điểm cực tiểu và điểm cực đại.

Bài 5: Cho hai hàm số , có đồ thị lần lượt được cho ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Giải nhanh:

Hàm số đồng biến trên khoảng , ,  

Hàm số nghịch biến trên khoảng ,

Hàm số đạt cực đại tại và . Hàm số đạt cực tiểu tại và

Hàm số đồng biến trên khoảng , và Hàm số nghịch biến trên khoảng , .

Hàm số đạt cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại và

Bài 6: Thể tích (đơn vị: centimét khối) của 1 kg nước tại nhiệt độ   được tính bởi công thức sau: 

(Nguồn: J.Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi thể tích , , giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Giải nhanh:

Tập xác định: .

Ta có:

Xét ↔

Bảng biến thiên sau:

Vậy thể tích giảm trong khoảng nhiệt độ từ

Bài 7: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm (s), cho bởi hàm số sau:

( được tính bằng ft/s, 1 feet 0,3048 m)

(Nguồn: J.Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Giải nhanh:

TXD:

Ta có: .

Xét ↔

Như vậy gia tốc tàu con thoi tăng trong khoảng 45,6s đầu tiên.