BÀI 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

I. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

Hoạt động 1: Trong không gian với hệ tọa độ (Hình 36), cho hai vecto và .

1. Biểu diễn các vecto , theo ba vecto , , .
2. Biểu diễn các vecto , , theo ba vecto , , .
3. Tìm tọa độ các vecto , , .

Giải nhanh:

a) .

.

b)

().

c) Ta có: .

Tọa độ của vecto là .

Ta có:

Tọa độ của vecto là .

Ta có:

Tọa độ của vecto là

Luyện tập 1: 

1. Cho , , . Tìm tọa độ của vecto .
2. Cho ba điểm , , . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.

Giải nhanh:

a) , .

.

b) , .

.

=> .

=> Hai vecto và cùng phương.

=> Đường thẳng và trùng nhau hay ba điểm , , thẳng hàng.

II. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG. TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC

Hoạt động 2:

1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .

• Biểu diễn vecto theo hai vecto và .
• Tính tọa độ của điểm theo tọa độ của các điểm và .

1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có trọng tâm .

• Biểu diễn vecto theo ba vecto , , .
• Tính tọa độ của điểm theo tọa độ của các điểm , , .

Giải nhanh:

• Vì là trung điểm của nên với điểm ta có: .
• Ta có và nên và .

Khi đó, .

=> .

Do đó, .

• Vì là trọng tâm của tam giác nên với điểm ta có:

• Ta có: , và .

=> , và .

Khi đó, .

=>

Do đó,

Luyện tập 2: Cho ba điểm , , . 

1. Chứng minh rằng ba điểm , , khổng thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ điểm sao cho là trọng tâm của tam giác .

Giải nhanh:

a) Ta có: , .

=> với nên hai vecto và không cùng phương.

Như vậy ba điểm , , khổng thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm là . Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có:

=> , , . Vậy

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 

Hoạt động 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các vecto , . Hãy biểu diễn các vecto , theo ba vecto đơn vị , , và tích vô hướng .

Giải nhanh:

Ta có: , . 

=> , .

Mà và  

Do đó,

Luyện tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , và . Chứng minh rằng tam giác vuông tại .

Giải nhanh:

Ta có, ,

Nhận thấy =>

=> Hai vecto và vuông góc với nhau hay hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Vậy tam giác vuông tại

IV. CÁCH TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO VUÔNG GÓC VỚI HAI VECTO CHO TRƯỚC

Hoạt động 4: 

1. Cho hình lập phương có , , , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto và . 
2. Cho hai vecto và không cùng phương. Xét vecto .

• Tính , .
• Vecto có vuông góc với cả hai vecto và hay không?

Giải nhanh:

1. Ta có: , .

Gọi tọa độ điểm là , ta có .

Vì là hình lập phương nên .

=> ↔

=>

Ta có: .

Ta thấy, ,

Như vậy vecto vuông góc với cả hai vecto và .

b)  

;

;

Vì , nên vecto vuông góc với cả hai vecto và .

Luyện tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vecto và . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto và .

Giải nhanh:

Ta có: .

Chọn .

Như vậy vecto vuông góc với cả hai vecto và

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

C.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và . Góc giữa hai vecto và bằng:

Giải nhanh:

A. 60^o

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , .

1. Tìm tọa độ của vecto .
2. Tìm tọa độ của vecto sao cho .

Giải nhanh:

1. .
2. Ta có: ↔

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto và .

Giải nhanh:

Ta có:

Chọn , ta có vecto vuông góc với cả hai vecto và .

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ, cho , . Tính cosin của góc .

Giải nhanh:

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , .

1. Chứng minh rằng ba điểm , , không thẳng hàng.
2. Tính chu vi tam giác .
3. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .
4. Tính .

Giải nhanh:

a) , .

=> với

=> Hai vecto và không cùng phương.

Vậy ba điểm , , không thẳng hàng.

b) ;

.

Ta có .

=> .

Chu vi tam giác là: .

c) Gọi tọa độ trọng tâm của tam giác là .

Ta có: ; ; .

Như vậy .

d) .

Do đó hai vecto và vuông góc với nhau hay hai đường thẳng và vuông góc với nhau nên . Vậy .

Bài 7: Cho hình hộp , biết , , , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto trong mỗi trường hợp sau:

Giải nhanh:

a) , vecto vuông góc với cả hai vecto và .

b) Chọn , vecto vuông góc với cả hai và

Bài 8: 

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm , , trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây , , đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi là độ lớn của các lực căng , , trên mỗi sợi dây. Khi đó, là một hàm số với biến số là .

1. Xác định công thức tính hàm số .
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
3. Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Giải nhanh:

1. Ta có: 18 in 45,72 cm 0,4572 m.

Gọi là trọng tâm tam giác . Vì tam giác đều nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Do đó, m.

Ta có nên và .

Do đó, .

Vì vậy, tồn tại hằng số sao cho: ; ; .

=> .

Theo quy tắc ba điểm, ta có: 

(do là trọng tâm tam giác nên ).

Do đó, .

Mặt khác ta lại có , với là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn. Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 24 N nên N.

=> , tức là .

Tam giác vuông tại (do ) 

=> (m) với

Do đó, , suy ra

Khi đó,

Như vậy với

1. Xét hàm số với .
2. Tập xác định: .
3. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

.

Do đó đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

. Do đó đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• với .
• Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số không có cực trị.

1. Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 10 N.

Với , ta có . 

Từ đó suy ra  

↔ ↔ .

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là (m) (in)