BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

Bài 1: Cho điểm thỏa mãn . Tọa độ của điểm là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

B.

Bài 2: Cho hai điểm và . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

D.

Bài 3: Cho hai vecto , . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

A.

Bài 4: Cho hai vecto , . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

B.

Bài 5: Cho vecto . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

C.

Bài 6: Độ dài của vecto là:

Giải nhanh:

B. 3

Bài 7: Tích vô hướng của hai vecto và là:

A.

B.

C. 20

D. –20

Giải nhanh:

D. –20 

Bài 8: Khoảng cách giữa hai điểm và là:

Giải nhanh:

B. 13

Bài 9: Cho hai điểm và . Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

D.

Bài 10: Cho tam giác có , và . Trọng tâm của tam giác có tọa độ là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

A.

Bài 11: Cho hai vecto và . Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác vuông góc với cả hai vecto và .

Giải nhanh:

Ta có:

Chọn , ta có vuông góc với cả hai vecto và

Bài 12: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Tính góc giữa hai vecto và .

Giải nhanh:

Vì , lần lượt là trung điểm của các cạnh và nên ,

=> . Do đó,

Ta tính được nên tam giác là tam giác đều

=>

Như vậy

Bài 13: Xét hệ tọa độ gắn với hình lập phương như Hình 39, đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình lập phương. Biết , , ,

1. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương .
2. Xác định tọa độ trọng tâm của tam giác
3. Xác định tọa độ các vecto và . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng và

Giải nhanh:

1. Ta có điểm thuộc mặt phẳng nên cao độ của điểm bằng

Lại có tại nên hoành độ của điểm là , tại nên tung độ của điểm là 1. Như vậy

Tương tự như vậy, ta xác định được và

Ta có , .

Áp dụng quy tắc hình hộp trong hình lập phương ta có:

Do đó, =>

1. Gọi tọa độ trọng tâm của tam giác là

Ta có: ; ;

Như vậy .

c) Vì nên

Ta có , do đó

=> Hai vecto và cùng phương nên hai hai đường và song song hoặc trùng nhau, mà nên hai đường thẳng này trùng nhau, tức là ba điểm , , thẳng hàng.

Từ => , do đó

Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , và

a) Chứng minh rằng ba điểm , , không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.

c) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .

d) Tính chu vi của tam giác .

e) Tính .

Giải nhanh:

1. Ta có: ,

=> với mọi nên hai vecto và không cùng phương

Như vậy ba điểm , , không thẳng hàng

1. Gọi tọa độ điểm là . Ta có .

Tứ giác là hình bình hành khi

Như vậy

1. Gọi tọa độ trọng tâm của tam giác là .

Ta có: ; ;

Như vậy

1. Ta có: 

Chu vi tam giác là: 

Lại có . 

Do đó,

Bài 15: Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là , , (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300 N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ , ,

Giải nhanh:

Theo giả thiết, ta có các điểm , , , . 

=> hay ;

hay ;

hay ;

=> . Do đó, .

Vì vậy, tồn tại hằng số sao cho:

; ; .

=> , trong đó là trọng lực tác dụng lên máy quay. 

=> =>

Như vậy ; ;