BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I

Bài 1: Cho hàm số có đạo hàm trên ℝ và hàm số có đồ thị như Hình 31.

Hàm số đồng biến trên khoảng:

Giải nhanh:

A.

Bài 2: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

Giải nhanh:

Bài 3: Hàm số nào có đồ thị như Hình 32?

Giải nhanh:

A.

Bài 4: Đường cong ở Hình 33 là đồ thị của hàm số nào sau đâu?

Giải nhanh:

D.

Bài 5: Các đồ thị hàm số ở Hình 34a, Hình 34b đều có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang (hoặc tiệm cận xiên). Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

B.

C.

Giải nhanh:

- Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 34a, ta thấy đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (đường màu xanh đi qua 2 điểm  và ).

Trong các đáp án đã cho, xét hàm số ở đáp án c, ta thấy:

; . Do đó, đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Ta có:

, . Do đó, đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số ở Hình 34a là đồ thị của hàm số

- Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 34b, ta thấy đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trong các đáp án còn lại, ta thấy hàm số ở đáp án a thỏa mãn do:

;

;

Như vậy đồ thị hàm số ở Hình 34b là đồ thị của hàm số

Bài 6: Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau:

b)

c)

Giải nhanh:

a) Tập xác định: .

Ta có ; . Do đó, đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

; . 

=> Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

a) Tập xác định:

• Ta có ; . 

=> Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• ;

=> Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1. Tập xác định:

Ta có: 

;

=> và là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

;

=> và là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bài 7: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

Giải nhanh:

a)

Ta có:

=> là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Có:

=> là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Ta có: ;  

=> là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Có:

=> là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Ta có:; => là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Có:

=> là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

1. trên đoạn ;
2. trên đoạn ;
3. trên đoạn ;
4. trên đoạn .

Giải nhanh:

a) Ta có: . Khi đó trên khoảng , khi .

, , .

Như vậy tại , tại .

b) Ta có: . Khi đó trên khoảng , không tồn tại để.

, .

Như vậy tại , tại .

c) Ta có: . Khi đó trên khoảng , khi .

, , .

Như vậy tại , tại .

Ta có: . Khi đó trên khoảng , ta có .

,

Như vậy tại , tại

Bài 9: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải nhanh:

a) 

1. .
2. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: , .
• ; ↔ hoặc
• 

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng và ; nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại đạt cực tiểu tại

1. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: .
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: , .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: , , , và .

1.  
2. 
3. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: ,
• với
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

Hàm số không có cực trị.

1. Đồ thị:

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm , ,

1.  
2. 
3. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

,  

=> là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

,

=> là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• , với .
• Bảng biến thiên:
• 

1. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: .
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: , , , và .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

1.  
2. 
3. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

,

=> là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

,

=> là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

• , với .
• Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.

1. Đồ thị:

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm , , , .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

1.  
2. 
3. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: 

, .

, . 

=> là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

, . => là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• ; ↔ ↔ (thỏa mãn) hoặc (thỏa mãn).
• Bảng biến thiên:

1. Đồ thị:

• Đồ thị hàm số không cắt các trục tọa độ.
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm , , và .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

1. 
2. 
3. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: 

, .

, . Do đó, đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

, . Do đó, đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• với .
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng và .

Hàm số không có cực trị.

1. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: .
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: , .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: , , và .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Bài 10: Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?

Giải nhanh:

Gọi (cm) là chiều rộng của trang sách.

Khi đó, chiều dài của trang sách là (cm).

Sau khi để lề thì phần in chữ có dạng hình chữ nhật có chiều rộng là (cm) và chiều dài là (cm).

Rõ ràng, phải thỏa mãn điều kiện .

Diện tích phần in chữ trên trang sách là:

(cm²)

Xét hàm số với .

Ta có: ↔ (không thỏa mãn) hoặc (thỏa mãn)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy kích thước tối ưu của trang sách là (cm) thì in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất.

Bài 11: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào. 

Giải nhanh:

Giả sử chiều dài từng mặt của ba mặt hàng rào song song nhau là (m).

Chi phí để làm ba mặt hàng rào song song là: (đồng).

Chi phí để làm mặt hàng rào song song với bờ sông là: (đồng).

Chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông là: (m)

Rõ ràng, phải thỏa mãn điều kiện

Giả sử diện tích hàng rào không đáng kể, khi đó diện tích hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là: (m²)

Xét hàm số với

Ta có:

Trên khoảng , khi .

Ta có bảng biến thiên:

Như vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là 6250 m²

Bài 12: Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Giải nhanh:

Dựng các đường cao và của hình thang cân như hình vẽ trên.

Vì là hình than cân nên và .

Đặt (m) ()

Ta có:

Theo định lý Pythagore => (m).

Rõ ràng, phải thỏa mãn điều kiện .

Diện tích của hình thang cân là:

(m²)

Xét hàm số với

Ta có: ; 

↔ (không thỏa mãn) hoặc (thỏa mãn).

Bảng biến thiên:

Bài 13: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm , của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là m, m và m (Hình 37). Các kỹ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí , đến vị trí là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Giải nhanh:

Đặt (m).

=> (m)

Rõ ràng, phải thỏa mãn điều kiện .

Áp dụng định lý Pythagore, ta tính được:

(m);

(m).

Tổng khoảng cách từ hai vị trí , đến vị trí là:

với .

Ta có: ;

Trên khoảng , ta thấy khi .

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy đạt giá trị lớn nhất bằng tại . Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là m

Bài 14: Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?

Giải nhanh:

Cứ tăng thêm 200 nghìn đồng vào giá thuê một căn hộ trên một tháng thì có một căn hộ bỏ trống. Gọi số lần tăng 200 nghìn đồng vào gái thuê một căn hộ trên một tháng là ().

Khi đó, cũng là số căn hộ bị bỏ trống.

Tổng số tiền công ty thu được lúc này là: (nghìn đồng)

Xét hàm số với .

Ta có: ; ↔

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 45000 khi . Khi đó, số tiền tăng lên khi cho thuê một căn hộ là nghìn đồng 1 triệu đồng.

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ 3 triệu đồng/tháng thì tổng số tiền thu được là lớn nhất