BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoạt động: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải nhanh:

- Bảng biến thiên:

1. Vẽ đồ thị hàm số

Luyện tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải nhanh:

- Bảng biến thiên:

Đồ thị

II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA

Luyện tập 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

Giải nhanh:

a) - Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Vậy đồ thị hàm số được cho như hình vẽ trên

III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

Luyện tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .

Giải nhanh:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Luyện tập 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .

Giải nhanh:

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Luyện tập 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .

Giải nhanh:

Bảng biến thiên:

Đồ thị

IV. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Luyện tập 7: Trong Ví dụ 9, góc dốc của con đường trên đoạn lớn nhất tại điểm nào?

Giải nhanh:

Xét hàm số

Với

Ta có:

Trên đoạn , khi

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Đồ thị hàm số là đường cong nào trong các đường cong sau?

Giải nhanh:

Đáp án B

Bài 2: Đường cong ở Hình 29 là đồ thị của hàm số:

1. .
2. .
3. .
4. .

Giải nhanh:

D.

Bài 3: Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số ?

Giải nhanh:

Đáp án B

Bài 4: Đường cong ở Hình 30 là đồ thị của hàm số:

1. .
2. .
3. .
4. .

Giải nhanh:

Đáp án A

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải nhanh:

a) - Bảng biến thiên:

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải nhanh:

a)  Bảng biến thiên:

c) Bảng biến thiên:

e) Bảng biến thiên:

Bài 7: Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng.         

Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm

trong đó là thời gian tính bằng giây và là độ cao tính bằng kilomet (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

1. Tìm thời điểm sao cho con tài đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?
2. Vẽ đồ thị của hàm số với (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 50 km).
3. Gọi là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với . Xác định hàm số .
4. Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm (giây) là bao nhiêu?
5. Tại thời điểm (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?

Giải nhanh:

a)

Trên khoảng , ↔

, ,

Do đó, tại

Như vậy tại thời điểm giây thì con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng và khoảng cách nhỏ nhất này bằng 8,08 km.

b) Ta có:

Trên khoảng , ↔ (thỏa mãn) hoặc

1. Ta có: là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm (s) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với .

Khi đó: với .

1. (km/s)
2. Tại thời điểm (s), lúc đó , căn cứ vào bảng biến thiên ở câu (b), ta thấy , tức là , vậy vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.

Bài 8: Xét phản ứng hóa học tạo ra chất từ hai chất và : 

Giả sử nồng độ của hai chất và bằng nhau (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất theo thời gian () được cho bởi công thức: (mol/l), trong đó là hằng số dương (Nguồn: Đỗ Đức Thái (Chủ biên) và các đồng tác giả, Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến, NXB Đại học Sư phạm, 2023).

1. Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm .
2. Chứng minh nếu thì .
3. Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi .
4. Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi .

Giải nhanh:

1. Ta có:           

Ban đầu:                                                     

Sau thời gian :           

Tốc độ ở thời điểm là

1. Ta có: , tức là .

=>

Như vậy khi thì nồng độ các chất , và bằng nhau.

Như vậy khi , tốc độ phản ứng dần về 0, khi đó phản ứng kết thúc