BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị là đường cong ở Hình 8. Quan sát đồ thị và cho biết:

1. Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất;
2. Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.

Giải nhanh:

1. Điểm
2. Điểm

Luyện tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Giải nhanh:

Ta có: → → →

=> ↔

II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐẠO HÀM

Hoạt động 2: Cho hàm số với .

1. Tính , .
2. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng .
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên khoảng .

Giải nhanh:

1. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi và không có giá trị lớn nhất

Luyện tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên nửa khoảng .

Giải nhanh:

Ta có:

Xét với .

Ta có bảng biến thiên:

=> Hàm số có giá trị lớn nhất bằng khi và không có giá trị nhỏ nhất. 

Hoạt động 3: Cho hàm số , có đồ thị là đường cong ở Hình 9.

1. Dựa vào đồ thị ở Hình 9, hãy cho biết các giá trị ; bằng bao nhiêu.
2. Giải phương trình với .
3. Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút ; và tại các điểm mà ở đó .
4. So sánh (hoặc ) với số lớn nhất (hoặc số bé nhất) trong các giá trị tính được ở câu c.

Giải nhanh:

Luyện tập 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Giải nhanh:

Ta có:

Xét ↔

Ta có , ,

=> có giá trị nhỏ nhất bằng khi và có giá trị lớn nhất bằng khi

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Nếu hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn , thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng:

Giải nhanh:

B.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

Giải nhanh:

Ta có:

Xét ↔ ↔

Như vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng khi .

b)

Ta có:

Xét với

Như vậy giá lớn nhất của hàm số bằng khi

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

1. trên khoảng
2. trên khoảng

Giải nhanh:

1. Ta có:

Xét ↔

Ta có:

Như vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi .

1. Ta có:

Xét ↔

Ta có:

Như vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

1. trên đoạn
2. trên đoạn
3. trên đoạn
4. trên đoạn

Giải nhanh:

1. Ta có:

Xét ↔

Ta có ; ; ;

Như vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi và có giá trị lớn nhất bằng khi .

1. Ta có:

Xét ↔

Ta có ; ; ;

Như vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi hoặc và có giá trị lớn nhất bằng 5 khi .

1. Ta có:  

Xét ↔

Ta có ; ; ; .

1. Ta có:

Xét ↔

Ta có ; ;

Như vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi và có giá trị lớn nhất bằng khi

Bài 5: Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Giải nhanh:

Trong 5 s đầu tiên, vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng tại (s)

Bài 6: Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng (phút) được cho bởi công thức

với

(Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson)

1. Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?
2. Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?
3. Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm với . Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?

Giải nhanh:

1. (l)
2. (l)
3. (s)

Bài 7: Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được ho được cho bởi công thức

với

trong đó là hằng số, là bán kính bình thường của khí quản, là bán kính khí quản khi ho (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Giải nhanh:

Ta có:

Xét ↔

Ta có ;

Như vậy bán kính của khí quản khi ho bằng bàn kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.