BÀI 2: TỌA ĐỘ CỦA VECTO

I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM

Hoạt động 1: Trong không gian, hãy vẽ:

1. Ba trục số , , vuông góc với nhau từng đôi một và cắt nhau tại gốc của mỗi trục.
2. – Vecto xuất phát từ điểm gốc , theo chiều dương của trục và có độ dài bằng 1.

– Vecto xuất phát từ điểm gốc , theo chiều dương của trục và có độ dài bằng 1.

– Vecto xuất phát từ điểm gốc , theo chiều dương của trục và có độ dài bằng 1.

Giải nhanh:

Luyện tập 1: Một căn phòng với hệ tọa độ được chọn như ở Hình 21. Cho biết bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ nào. 

Giải nhanh:

Nằm trong mặt phẳng tọa độ

Hoạt động 2: Cho điểm trong không gian với hệ tọa độ . Gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng (Hình 22).

1. Trong mặt phẳng hãy cho biết:

• Hình chiếu của điểm trên trục hoành ứng với số nào trên trục ?
• Hình chiếu của điểm trên trục tung ứng với số nào trên trục ?

1. Hình chiếu của điểm trên trục cao ứng với số nào trên trục ?

Giải nhanh:

a) Hình chiếu của điểm trên trục hoành ứng với số 4 trên trục

Hình chiếu của điểm trên trục tung ứng với số 5 trên trục

b) Hình chiếu của điểm trên trục cao ứng với số 3 trên trục

Luyện tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi , , lần lượt là hình chiếu của điểm trên các trục , , . Tìm tọa độ của các điểm , , .

Giải nhanh:

Gọi , , .

Với , đặt , , . Ta có:

• ; ; . Do đó
• ; ; . Do đó
• ; ; . Do đó

II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO

Hoạt động 3: Cho điểm trong không gian với hệ tọa độ .

1. Vẽ vecto .
2. Nêu cách xác định tọa độ của điểm .

Giải nhanh:

a)

• Vẽ hệ trục tọa độ
• Lấy điểm bất kỳ trong hệ tọa độ
• Nối với tạo thành vecto

b) 

• Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Trong mặt phẳng tọa độ , tìm hoành độ , tung độ của điểm
• Xác định hình chiếu của điểm trên trục , điểm ứng với số trên trục . Số là cao độ của điểm

Vậy

Luyện tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Tìm tọa độ điểm .

Giải nhanh:

=>

Hoạt động 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto (Hình 28). Hãy xác định điểm sao cho (Hình 29).

Giải nhanh:

Cách xác định điểm :

• Từ gốc tọa độ , dựng đường thẳng song song với giá của vecto .
• Trên , lấy điểm sao cho vecto cùng hướng với vecto và .

Như vậy ta được điểm thỏa mãn

Luyện tập 4: Tìm tọa độ của các vecto , ở Hình 30.

Giải nhanh:

Trong Hình 30, ta có: , , mà và .

=> và

Hoạt động 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto (Hình 31). Lấy điểm sao cho .

1. Tìm hoành độ, tung độ và cao độ của điểm .
2. Biểu diễn vecto qua vecto ; vecto qua vecto ; vecto qua vecto
3. Biểu diễn vecto theo các vecto , , .

Giải nhanh:

a) Ta có , mà nên

Do đó, . Vậy điểm có hoành độ , tung độ và cao độ

b) Ta có: ; ;

c) Theo quy tắc hình bình hành, ta có và

=>

Mà . Do đó,

Luyện tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto và vecto . Hãy tìm tọa độ của:

Giải nhanh:

a)

b)

Hoạt động 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , (Hình 32).

1. Biểu diễn mỗi vecto , theo các vecto , và .
2. Tìm liên hệ giữa và .
3. Từ đó, tìm tọa độ của vecto .

Giải nhanh:

1. 
2. .

Luyện tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp có , , , .

Tìm tọa độ đỉnh của hình hộp .

Giải nhanh:

Ta có: .

Gọi tọa độ của điểm là , ta có .

Vì là hình hộp nên là hình bình hành.

Do đó,

=> ↔

=>

Ta có

Gọi tọa độ của điểm là , ta có .

Vì là hình hộp nên  .

Do đó, ↔

=>

GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Tọa độ của vecto là:

Giải nhanh:

A.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto và điểm . Biết . Tọa độ của điểm là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

B.

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

A.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

B.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto và điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

C.

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Gọi , , lần lượt là hình chiếu của điểm trên các mặt phẳng tọa độ , , . Tìm tọa độ của các điểm , , .

Giải nhanh:

Gọi , và .

Với , đặt , , . Ta có:

• ; ; (vì nằm trên mặt phẳng ).

=>

• ; ; (vì nằm trên mặt phẳng ).

=>

• ; ; (vì nằm trên mặt phẳng ).

=>

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Gọi , , lần lượt là hình chiếu của điểm trên các trục , , . Tìm tọa độ của các điểm , , .

Giải nhanh:

Gọi , và .

Với , đặt , , . Ta có:

• ; ; (vì nằm trên trục ).

=>

• ; ; (vì nằm trên trục ).

=>

• ; ; (vì nằm trên trục ).

=>

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp có , , , . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp .

Giải nhanh:

Ta có: .

Gọi tọa độ của điểm là , ta có: .

Vì là hình hộp nên là hình bình hành.

Do đó, . Suy ra, ↔

=>

Ta có: .

Gọi tọa độ của điểm là , ta có .

Ta có: ↔ ↔

=> .

Gọi tọa độ của điểm là , ta có

Ta có: ↔ ↔

=> .

Gọi tọa độ của điểm là , ta có

Ta có: ↔ ↔

=>

Bài 9: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. 

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm , , , (Hình 34).

Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và . Để theo dõi quả bóng đến vị trí , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm có cao độ bằng 19 (Nguồn: http://www.abiturloesung.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).

Tìm tọa độ của các điểm , và của vecto
Giải nhanh:

Gọi , , , lần lượt là hình chiếu của , , , lên mặt phẳng .

Ta thấy là hình hộp chữ nhật.

Gọi là giao hai đường chéo và . Khi đó .

Vì và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm xuống điểm nên các điểm , , , thẳng hàng.

Khi đó, các điểm , , , có hoành độ và tung độ bằng nhau. 

Theo bài ra, cao độ của và lần lượt là 25 và 19.

Giả sử và . Ta có là hình hộp chữ nhật nên => cao của bằng 30. Do đó, .

Ta có: ,

Vì là giao hai đường chéo của hình chữ nhật nên là trung điểm của => ↔.

Vậy, , và .