ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a, x=b)

Hoạt động 1 trang 29 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hàm số có đồ thị được minh họa ở Hình 11.

a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào.

b) Tính diện tích của các hình phẳng đó.

c) Gọi H là hợp của các hình phẳng .Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm ,trục hoành và các đường thẳng x=0, x=3. Chứng tỏ rằng diện tích của hình phẳng H bằng:

Giải nhanh:

a) Quan sát Hình 11, ta thấy:

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x=0, x=A

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=A, x=B

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=B, x=3

b) Diện tích H₁ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=A,x=0. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

Diện tích H₂ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=A, x=B. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

Diện tích H₃ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=B,x=3. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

c) Ta có:

Vậy diện tích của hình phẳng H bằng:

Luyện tập-vận dụng 1 trang 30 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trục Ox và hai đường thẳng .

Giải nhanh:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trục Ox và hai đường thẳng là:

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số (y=f(x) y=g(x)) và hai đường thẳng (x=a x=b)

Hoạt động 2 trang 31 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho các hàm số

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x=1 x=2 và đồ thị hàm số

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x=1 x=2 và đồ thị hàm số y=x

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai đường thẳng x=1 x=2 (Hình 14).

a) Biểu diễn S theo

b) So sánh S và

Giải nhanh: 

a) 

b) Ta có: 

Luyện tập-vận dụng 2 trang 32 sgk toán 12 tập 2 cd

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số và 2 đường thẳng x=-2, x=2

Giải nhanh:

Với

Vậy diện tích hình phẳng đó là:

II. TÍNH THỂ TÍCH HÌNH KHỐI

1. Thể tích của vật thể:

Hoạt động 3 trang 35 sgk toán 12 tập 2 cd

Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với ta nhận được một hình phẳng với diện tích là S(x) (Hình 17).

a) Tính S(x)

b) So sánh thể tích khối lập phương đó với

Giải nhanh:

a) Khi cắt khối lập phương bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x, ta thu được một hình phẳng có chiều dài là 1  và chiều rộng là 1. Do đó, diện tích của hình phẳng này là:

b) Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 1 là:

Tích phân của S(x) trên đoạn [0;1] :

Luyện tập-vận dụng 3 trang 35 sgk toán 12 tập 2 cd

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (1 ≤ x ≤ 2) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x) = 2x. Tính thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Giải nhanh:

Thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng đã cho là:

Luyện tập-vận dụng 4 trang 37 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'. 

Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng P vuông góc với trục Ox tại x (a≤x≤b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.

Giải nhanh:

Thể tích khối chóp đó là: 

2. Thể tích khối tròn xoay

Hoạt động 4 trang 38 sgk toán 12 tập 2 cd

Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r(Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y=f(x)

a) Tìm hàm số y = f(x) 

b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r. Xét điểm M(x; f(x)) (-r ≤ x ≤ r) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x ; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).

Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x).

Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm Q bán kính r.

Giải nhanh:

a)

Để tìm hàm số y = f(x), ta cần xác định phương trình của nửa hình tròn.

Ta có hình tròn tâm O, bán kính r có phương trình là:

Do đồ thị của nửa hình tròn nằm ở nửa trên trục Ox, tức là phần dương của đồ thị. Vậy nửa hình tròn giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) có phương trình là:

b) 

Diện tích S(x) của hình tròn tâm H bán kính f(x) là:

Thể tích V của hình cầu tâm O tính theo công thức tính thể tích của vật thể là:

Luyện tập-vận dụng 5 trang 39 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Giải nhanh:

Thể tích khối tròn xoay tạo ra từ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng khi quay quanh trục Ox là:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 trang 40 toán 12 tập 2 cd

Hình thang cong ABCD ở Hình 28 có diện tích bằng:

A.

B.

C.  

D.

Giải nhanh: 

B.

Bài 2 trang 40 toán 12 tập 2 cd

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và 2 đường thẳng x=0, x=2 quay quanh trục Ox là:

A.

B.

C.

D.

Giải nhanh:

B.

Bài 3 trang 41 toán 12 tập 2 cd

Cho đồ thị hàm số  và hình phẳng được tô màu như hình 29. 

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi những đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó.

Giải nhanh:

a) Dựa vào Hình 29, ta thấy hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đường và trục hoành.

b) Diện tích của hình phẳng đã cho là:

Bài 4 trang 41 toán 12 tập 2 cd

Cho đồ thị các hàm số và hình phẳng được tô màu như hình 30.

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó

Giải nhanh:

a) Nhìn vào hình 29, ta thấy hình phẳng đã cho được giới hạn bởi trục tung và các đường

b) Ta thấy trong đoạn [0;2],

Diện tích hình phẳng đã cho là: 

Bài 5 trang 41 toán 12 tập 2 cd

Cho đồ thị hàm số và khối tròn xoay như hình 31.

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như hình 31?

b) Tính thể tích khối tròn xoay đó.

Giải nhanh:

a) Để được khối tròn xoay như hình 31, hình phẳng cần được giới hạn bởi trục hoành Ox, các đường

b) Thể tích khối tròn xoay là:

Bài 6 trang 41 toán 12 tập 2 cd

Cho đồ thị hàm số như hình 32.

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(t), trục Ot và 2 đường thẳng t=0, t=2.

b) Hỏi biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường nào trong Hình 32?

Giải nhanh:

a) 

Kẻ đường x=2 cắt đồ thị f(t) tại điểm B.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(t), trục Ot và 2 đường thẳng t=0, t=2 là phần diện tích hình thang OABC như trên hình vẽ:

b) biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 7 trang 42 toán 12 tập 2 cd

Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 21 m và rộng 70 m (Hình 33).

Giải nhanh:

Mái vòm có dạng hình parabol, tức là có dạng phương trình

Theo đề bài, vòm cửa cao 21 m và rộng 70 m. Chọn trục tung đi qua đỉnh parabol. Vậy đỉnh parabol có hoành độ y= 21 và parabol cắt trục hoành tại điểm x=-35 và x=35. Thay x=35,y=21 vào phương trình parabol, ta được:

Vậy mái vòm parabol có phương trình là:

Diện tích mặt kính cửa mái vòm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, đường thẳng và đường :

Vậy diện tích mặt kính cửa mái vòm cần lắp vào là 490m²

Bài 8 trang 42 toán 12 tập 2 cd

Hình 34 minh họa mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong được cho bởi phương trình:

Hãy tính diện tích hình phẳng tô màu xanh trong hình 34, biết mỗi đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. 

Giải nhanh:

Theo hình 34, hình phẳng được tô màu xanh được giới hạn bởi trục Ox, các đường

Diện tích hình phẳng đã cho là:

Bài 9 trang 42 toán 12 tập 2 cd

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.

Giả sử

Gọi N là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích N theo và

Giải nhanh:

Để tính thể tích của khối tròn xoay N, ta cần tính diện tích mặt đáy (hình tròn) và tích phân diện tích mặt đáy theo chiều cao (độ dài đoạn OM).

Diện tích mặt đáy hình tròn là:

Ta có: 

P nằm trên trục tọa độ:

Điểm P có tọa độ

PM vuông góc với trục Ox:

Điểm M có tọa độ

O có tọa độ (0;0)

Hệ số góc của đường thẳng OM:

Vì OM qua gốc tọa độ, phương trình đường thẳng OM có dạng:

Thể tích khối tròn xoay N được giới hạn bởi đường :

Bài 10 trang 42 toán 12 tập 2 cd

Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

trục Ox và hai đường thẳng x=−35, x=35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục toạ độ là centimét.

Giải nhanh:

Thể tích thùng rượu vang là: