BÀI 4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a, x=b)

Hoạt động 1: 

Cho hàm số có đồ thị được minh họa ở Hình 11.

a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng  lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào.

b) Tính diện tích  của các hình phẳng đó.

c) Gọi H là hợp của các hình phẳng  .Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm  ,trục hoành và các đường thẳng x=0, x=3. Chứng tỏ rằng diện tích  của hình phẳng H bằng:

Giải rút gọn:

a) Quan sát Hình 11, ta thấy:

Hình phẳng  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x=0, x=A

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=A, x=B

Hình phẳng  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=B, x=3

b) Tính diện tích  của các hình phẳng

Diện tích H₁ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=A,x=0. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

Diện tích H₂ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=A, x=B. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

Diện tích H₃ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=B,x=3. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

c) Ta có:

Vậy diện tích  của hình phẳng H bằng:

Luyện tập - vận dụng 1:

Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  trục Ox và hai đường thẳng .

Giải rút gọn:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  trục Ox và hai đường thẳng  là:

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số (y=f(x) y=g(x)) và hai đường thẳng (x=a x=b)

Hoạt động 2:

Cho các hàm số

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x=1 x=2 và đồ thị hàm số

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x=1 x=2 và đồ thị hàm số y=x

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai đường thẳng x=1 x=2 (Hình 14).

a) Biểu diễn S theo

b) So sánh S và

Giải rút gọn: 

a)

b)

Vậy:

Luyện tập - vận dụng 2:

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số và 2 đường thẳng x=-2, x=2

Giải rút gọn:

Với

Vậy diện tích hình phẳng đó là:

II. TÍNH THỂ TÍCH HÌNH KHỐI

1. Thể tích của vật thể:

Hoạt động 3:

Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với  ta nhận được một hình phẳng với diện tích là S(x) (Hình 17).

a) Tính S(x)

b) So sánh thể tích khối lập phương đó với

Giải rút gọn:

a) Khi cắt khối lập phương bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x, ta thu được một hình phẳng có chiều dài là 1  và chiều rộng là 1. Do đó, diện tích của hình phẳng này là:

b) Ta có:

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 1 là:

Tích phân của S(x) trên đoạn [0;1] :

Vậy thể tích khối lập phương đó bằng với

Luyện tập - vận dụng 3:

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (1 ≤ x ≤ 2) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x) = 2x. Tính thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Giải rút gọn:

Ta có: Thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng đã cho là:

Vậy thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng đã cho bằng 3 đơn vị khối.

Luyện tập - vận dụng 4:

Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'. 

Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng P vuông góc với trục Ox tại x (a≤x≤b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.

Giải rút gọn:

Thể tích khối chóp đó là: 

2. Thể tích khối tròn xoay

Hoạt động 4:

Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r(Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y=f(x)

a) Tìm hàm số y = f(x) 

b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r. Xét điểm M(x; f(x)) (-r ≤ x ≤ r) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x ; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).

Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x).

Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm Q bán kính r.

Giải rút gọn:

a) Để tìm hàm số y = f(x), ta cần xác định phương trình của nửa hình tròn.

Ta có hình tròn tâm O, bán kính r có phương trình là:

Do đồ thị của nửa hình tròn nằm ở nửa trên trục Ox, tức là phần dương của đồ thị. Vậy nửa hình tròn giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) có phương trình là:

b) Diện tích S(x) của hình tròn tâm H bán kính f(x) là:

Thể tích V của hình cầu tâm O tính theo công thức tính thể tích của vật thể là:

Luyện tập - vận dụng 5:

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Giải rút gọn:

Thể tích khối tròn xoay tạo ra từ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng khi quay quanh trục Ox là:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1:

Hình thang cong ABCD ở Hình 28 có diện tích bằng:

A.

B.

C.  

D.

Giải rút gọn: 

+ Hình thang ABCD được giới hạn bởi các đường

+ Trong đoạn [1;2], ta thấy đường

Vậy diện tích hình thang cong ABCD là

Đáp án B.

Bài 2:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và 2 đường thẳng x=0, x=2 quay quanh trục Ox là:

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và 2 đường thẳng x=0, x=2 quay quanh trục Ox là 

Đáp án B

Bài 3:

Cho đồ thị hàm số  và hình phẳng được tô màu như hình 29. 

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi những đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó.

Giải rút gọn:

a) Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đường  và trục hoành.

b) Diện tích của hình phẳng đã cho là:

Bài 4:

Cho đồ thị các hàm số  và hình phẳng được tô màu như hình 30.

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó

Giải rút gọn:

a) Nhìn vào hình 29, ta thấy hình phẳng đã cho được giới hạn bởi trục tung và các đường

b) Ta thấy trong đoạn [0;2],

Diện tích hình phẳng đã cho là: 

Bài 5:

Cho đồ thị hàm số  và khối tròn xoay như hình 31.

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như hình 31?

b) Tính thể tích khối tròn xoay đó.

Giải rút gọn:

a) Để được khối tròn xoay như hình 31, hình phẳng cần được giới hạn bởi trục hoành Ox, các đường

b) Thể tích khối tròn xoay là:

Bài 6:

Cho đồ thị hàm số như hình 32.

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(t), trục Ot và 2 đường thẳng t=0, t=2.

b) Hỏi  biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường nào trong Hình 32?

Giải rút gọn:

a)

Kẻ đường x=2 cắt đồ thị f(t) tại điểm B.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(t), trục Ot và 2 đường thẳng t=0, t=2 là phần diện tích hình thang OABC như trên hình vẽ:

b)  biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 7:

Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 21 m và rộng 70 m (Hình 33).

Giải rút gọn:

Mái vòm có dạng hình parabol, tức là có dạng phương trình

Theo đề bài, vòm cửa cao 21 m và rộng 70 m. Chọn trục tung đi qua đỉnh parabol. Vậy đỉnh parabol có hoành độ y= 21 và parabol cắt trục hoành tại điểm x=-35 và x=35. Thay x=35,y=21 vào phương trình parabol, ta được:

Vậy mái vòm parabol có phương trình là:

Diện tích mặt kính cửa mái vòm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, đường thẳng và đường :

Vậy diện tích mặt kính cửa mái vòm cần lắp vào là 490m²

Bài 8:

Hình 34 minh họa mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong được cho bởi phương trình:

Hãy tính diện tích hình phẳng tô màu xanh trong hình 34, biết mỗi đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. 

Giải rút gọn:

Theo hình 34, hình phẳng được tô màu xanh được giới hạn bởi trục Ox, các đường

Diện tích hình phẳng đã cho là:

Vậy diện tích hình phẳng là 42,1875 mét vuông.

Bài 9:

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.

Giả sử

Gọi N là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích N theo  và

Giải rút gọn:

Để tính thể tích của khối tròn xoay N, ta cần tính diện tích mặt đáy (hình tròn) và tích phân diện tích mặt đáy theo chiều cao (độ dài đoạn OM).

Diện tích mặt đáy hình tròn là:

Ta có: P nằm trên trục tọa độ:

Điểm P có tọa độ

PM vuông góc với trục Ox:

Điểm M có tọa độ

O có tọa độ (0;0)

Hệ số góc của đường thẳng OM:

Vì OM qua gốc tọa độ, phương trình đường thẳng OM có dạng:

Thể tích khối tròn xoay N được giới hạn bởi đường :

Bài 10:

Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

trục Ox và hai đường thẳng x=−35, x=35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục toạ độ là centimét.

Giải rút gọn:

Thể tích thùng rượu vang là:

Vậy thể tích thùng rượu vang là .