BÀI 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

I. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Hoạt động 1:

Một lớp học có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh";

B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.

Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy tính:

a) Xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ;

b) Tỉ số .Từ đó, hãy so sánh xác suất tính được ở câu a) với tỉ số

Giải rút gọn:

a) Số học sinh nữ là 17, trong đó có 1 học sinh nữ tên Thanh

Xác suất học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ là:

b) Ta có các biến cố

A: “Học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh";

B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.

Ta có:

(số học sinh nữ)

(số học sinh nữ tên Thanh)

Vậy tỷ số bằng với kết quả thu được ở câu A.

Luyện tập - vận dụng 1:

Một hộp có 6 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.

Giải rút gọn:

A: Biến cố lấy được quả bóng màu xanh lần thứ nhất.

B: Biến cố lấy được quả bóng màu đỏ lần thứ hai.

Khi đó xác suất lấy được quả bóng màu đỏ lần thứ 2 khi lần thứ nhất lấy được quả bóng xanh là xác suất của B với điều kiện A.

Ta có 6 quả bóng xanh trên tổng 10 quả bóng. Xác suất lấy được quả bóng màu xanh lần thứ nhất:

Xác suất để lần đầu tiên lấy được quả bóng màu xanh và lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ:

- Xác suất để lần đầu tiên lấy được quả bóng màu xanh là

- Nếu lần đầu tiên lấy được quả bóng màu xanh (số lượng bóng trong hộp còn lại là 5 xanh và 4 đỏ), thì xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ là

Xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh:

Vậy, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần đầu tiên đã lấy được quả bóng màu xanh, là

Luyện tập - vận dụng 2:

Trong hộp đựng 500 chiếc thẻ, có 200 chiếc thẻ màu vàng. Trên mỗi chiếc thẻ màu vàng có ghi một trong năm số: 1, 2, 3, 4, 5. Có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5. Chọn ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp đựng thẻ. Giả sử chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng. Tính xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5.

Giải rút gọn:

- A : "Chiếc thẻ được chọn có màu vàng".

- B: "Chiếc thẻ được chọn ghi số 5".

Xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5, biết rằng chiếc thẻ đó có màu vàng là xác suất của biến cố B với điều kiện A.

Ta có 200 thẻ màu vàng trên 500 thẻ. Xác suất để chọn được một chiếc thẻ màu vàng:

Có 40 thẻ màu vàng ghi số 5 trên tổng 500 thẻ. Xác suất để chọn được một chiếc thẻ màu vàng ghi số 5:

Xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5, biết rằng chiếc thẻ đó có màu vàng:

Vậy, xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5, biết rằng chiếc thẻ đó có màu vàng, là

Luyện tập - vận dụng 3:

Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau:

• Số người được thử là 9000, trong số đó có 1.500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết.
• Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 76% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính.
• Mặt khác, trong 7 500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 7% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính khi kiểm tra.

Với các giả thiết như ở Ví dụ 4, chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải rút gọn:

- A: “Người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết”

- B: “Người chọn ra có kết quả thử nghiệm âm tính”

Xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính là xác suất của biến cố A với điều kiện B. 

Từ Bảng 2, ta có số người có kết quả thử nghiệm âm tính:

Xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính

II. SỬ DỤNG SƠ ĐỒ HÌNH CÂY ĐỂ TÍNH XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Hoạt động 2:

Bác An của một khúc gỗ thành ba khối nhỏ. Mỗi khối nhỏ được sơn bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bác An có thể sơn màu cho khúc gỗ đó.

Giải rút gọn:

Luyện tập - vận dụng 4:

Một túi có 10 hộp sữa chua dâu và 10 hộp sữa chua nha đam; các hộp sữa chua có kích thước và khối lượng như nhau.

Có 12 hộp sữa chua trong túi là sữa chua không đường, trong đó có 6 hộp sữa chua dâu và 6 hộp sữa chua nha đam. Lấy ngẫu nhiên một hộp sữa chua trong túi. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, biết rằng hộp sữa chua đó là sữa chua không đường.

Giải rút gọn:

Xét các biến cố:

A: Lấy được sữa chua có đường

B: Lấy được sữa chua không đường

C: Lấy được sữa chua dâu

D: Lấy được sữa chua nha đam

Ta có sơ đồ cây:

Xác suất hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, biết rằng hộp sữa chua đó là sữa chua không đường là 0,5.

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1:

Cho hai biến cố độc lập A, B với (P(A)=0,8, P(B)=0.25 Khi đó, P(A | B) bằng:

A. 0,2.

B. 0,8.

C. 0,25.

D. 0,75.

Giải rút gọn:

Vì A và B độc lập nên ta có:

Đáp án: A.

Bài 2:

Trong một khu phố có 100 nhà, tại đó có 60 nhà gắn biển số chẵn và 40 nhà gắn biển số lẻ. Bên cạnh đó, có 50 nhà gắn biển số chẵn và 20 nhà gắn biển số lẻ đều có ô tô. Chọn ngẫu nhiên một nhà trong khu phố đó.

a) Xác suất nhà được chọn có ô tô, biết rằng nhà đó gắn biển số chẵn, là:

b) Xác suất nhà được chọn gắn biển số lẻ, biết rằng nhà đó có ô tô, là:

Giải rút gọn:

a) Gọi C là biến cố nhà được chọn có ô tô, D là biến cố nhà được chọn gắn biển số chẵn.

Ta có:

Vì A và B độc lập, nên ta có:

Đáp án D.

b) Gọi C là biến cố nhà được chọn có ô tô, L là biến cố nhà được chọn gắn biển số lẻ.

Vì A và B độc lập, nên ta có:

Đáp án: A.

Bài 3:

Một phòng học môn Tin học có 40 máy tính được đánh số từ 1 đến 40, các máy cùng loại và cùng màu, mỗi máy được đánh một số khác nhau. Trong phòng học đó, xác suất chọn được một máy tính đã cài đặt phần mềm lập trình Python được đánh số chẵn và được đánh số lẻ lần lượt là 0,375 và 0,45. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên một máy tính trong phòng học đó.

a) Xác suất bạn Nam chọn được máy tính đã cài đặt phần mềm lập trình Python, biết rằng máy tính đó được đánh số lẻ, là: 

b) Xác suất bạn Nam chọn được máy tính đánh số chẵn, biết rằng máy tính đó đã cài đặt phần mềm lập trình Python, là: 

Giải rút gọn: 

a) Gọi A là biến cố bạn Nam chọn được máy tính đã cài đặt phần mềm lập trình Python, B là biến cố máy tính được đánh số lẻ.

Xác suất bạn Nam chọn được máy tính đã cài đặt phần mềm lập trình Python, biết rằng máy tính đó được đánh số lẻ, là: 

Đáp án C.

b) Gọi C là biến cố máy tính được đánh số chẵn.

Theo đề bài, ta có:

Xác suất bạn Nam chọn được máy tính đánh số chẵn, biết rằng máy tính đó đã cài đặt phần mềm lập trình Python, là: 

Đáp án B.

Bài 4:

Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,6; P(B) = 0,8; P(AB) = 0,4. Tính các xác suất sau: 

a)  

b)  

c)  

Giải rút gọn: 

a) P(B|A)

Xác suất có điều kiện P(B|A) được tính theo công thức:

b)

c)

Mà

Bài 5:

Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố: 

  A: "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất"; 

  B: "Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai". 

  Chứng minh rằng A, B là hai biến cố độc lập. 

Giải rút gọn: 

Xác suất của biến cố A:

A là biến cố "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất".

Số quả bóng xanh trong hộp là 3 và tổng số quả bóng là 7. Vậy xác suất lấy được quả bóng xanh ở lần thứ nhất là:

B là biến cố "Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai".

Số quả bóng đỏ trong hộp là 4 và tổng số quả bóng là 7. Vậy xác suất lấy được quả bóng đỏ ở lần thứ hai là:

Biến cố là biến cố "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất và quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai". 

Mà ta có:

Do nên hai biến cố A và B là độc lập.

Bài 6:

Cho hai xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng xúc xắc trong hai xúc xắc đó. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

Giải rút gọn:

Gọi X là biến cố xuất hiện mặt 4 chấm trên xúc xắc thứ nhất.

Gọi Y là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6.

Theo đề bài, ta có xúc xắc là cân đối và đồng chất, xác suất để xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm là:

Biến cố "xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm và tổng số chấm trên hai xúc xắc bằng 6" chỉ xảy ra khi xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 2 chấm.Ta có không gian mẫu của Y Xác suất để xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 2 chấm là:

Bài 7:

Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu áo sơ mi trong lô hàng S phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo trong lô hàng đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo sơ mi trong lô hàng S. Tính xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.

Giải rút gọn:

Xét các biến cố:

-  A: Biến cố "chiếc áo qua được lần kiểm tra thứ nhất".

- B: Biến cố "chiếc áo qua được lần kiểm tra thứ hai".

Ta có Xác suất để chiếc áo qua được lần kiểm tra thứ nhất là 98%.

Xác suất để chiếc áo qua được lần kiểm tra thứ hai với điều kiện nó đã qua được lần kiểm tra thứ nhất là 95%.

Xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu (qua được cả hai lần kiểm tra) là 0,931, hay 93,1%.

Bài 8:

Một lô sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp 2 sản phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.

Giải rút gọn:

Xét 2 biến cố:

- A: Biến cố "sản phẩm lấy ra lần thứ nhất có chất lượng thấp".

- B: Biến cố "sản phẩm lấy ra lần thứ hai có chất lượng thấp".

Xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp, tức là

Xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp ở lần lấy thứ nhất là:

Nếu sản phẩm đầu tiên đã được lấy ra và nó có chất lượng thấp, thì số sản phẩm còn lại trong lô là 19, trong đó có 4 sản phẩm chất lượng thấp. Xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp ở lần lấy thứ hai, với điều kiện lần đầu đã lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp, là:

Xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra đều có chất lượng thấp là:

Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là khoảng 0.0526, hay 5.26%. 

Bài 9:

Trên giá sách có 10 quyển sách Khoa học và 15 quyển sách Nghệ thuật. Có 9 quyển sách viết bằng tiếng Anh, trong đó 3 quyển sách Khoa học và 6 quyển sách Nghệ thuật, các quyển sách còn lại viết bằng tiếng Việt. Lấy ngẫu nhiên một quyển sách. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học.

Giải rút gọn:

Xét các biến cố:

A: Lấy được sách khoa học

B: Lấy được sách nghệ thuật

C: Lấy được sách tiếng anh

D: Lấy được sách tiếng việt

Ta có sơ đồ:

Xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học là 0,7.