BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vector chỉ phương của đường thẳng

Hoạt động 1:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. (Hình 23). Giá của vector và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?

Giải rút gọn:

Nhận thấy A’C’ và AC đều là đường chéo của 2 hình chữ nhật mặt đáy của hình hộp, vậy A’C’//AC. Giá của vector A’C’ song song với đường AC

Luyện tập - vận dụng 1:

Trong Hình 23, vectơ có là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD hay không? Vì sao?

Giải rút gọn:

Vectơ  là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD vì giá của vectơ là đường B’D’ song song với BD.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Hoạt động 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương Xét điểm M₀(x;y;z) nằm trên (Hình 24).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ và

b) Có hay không số thực k sao cho ?

c) Hãy biểu diễn x, y, z qua k.

d) Toạ độ (x; y, z) của điểm M₀ (nằm trên ) có thoả mãn hệ phương trình:

hay không?

Giải rút gọn:

a)

Do M_0 nằm trên nên với k là một số thực.

Do đó

Vậy 2 vector và cùng phương

b) Để ta cần có t = 1.

Thay t =1:

Vậy, có số thực t = 1 sao cho

c)

Vậy:

d) Dựa vào biểu diễn của phần c, ta thấy tọa độ của điểm M hoàn toàn thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Luyện tập - vận dụng 2:

Viết phương trình tham số của đường thẳng , biết đi qua điểm (C(1;2;-4))

và vuông góc với mặt phẳng (P):

Giải rút gọn:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), vậy vector pháp tuyến của (P) là vector chỉ phương của đường thẳng  

Ta có vector chỉ phương của :

Phương trình tham số của

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Hoạt động 3:

Cho đường thẳng có phương trình tham số:

(t là tham số)

Tọa độ (x;y;z) của điểm M nằm trên có thỏa mãn hệ phương trình 

hay không?

Giải rút gọn:

Ta có tọa độ điểm

Thay vào hệ phương trình, ta có:

Vậy tọa độ M(x;y;z) thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Luyện tập - vận dụng 3:

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng biết phương trình tham số của là:

(t là tham số)

Giải rút gọn:

Dựa vào phương trình tham số, ta xác định được đường thẳng đi qua điểm M(-1;3;6) và có vector chỉ phương  

Phương trình chính tắc của là:

4. Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước:

Hoạt động 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;5;9).

a) Hãy chỉ ra một vector chỉ phương của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Giải rút gọn:

a)  Vector chỉ phương của đường thẳng AB là vector  :

b) Phương trình tham số của AB:

c) Phương trình chính tắc của AB:

Luyện tập - vận dụng 4:

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM biết M(a;b;c) với

Giải rút gọn:

Ta có đường thẳng OM đi qua O(0;0;0) và M(a;b;c)

Phương trình chính tắc của OM:

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 5:

Cho 2 đường thẳng phân biệt lần lượt đi qua các điểm tương ứng có vector chỉ phương là  

a) Giả sử song song với (Hình 25). Các cặp vector sau có cùng phương không: , và ?

b) Giả sử với cắt nhau (Hình 26). Hai vector có cùng phương không? Ba vector và  có đồng phẳng không?

c) Giả sử với cắt nhau (Hình 27). Hai vector có cùng phương không? Ba vector và  có đồng phẳng không?

Giải rút gọn:

a) Đường thẳng ∆₁ song song với ∆₂

   - Vì ∆₁ và ∆₂ song song nhau, nên hai vectơ chỉ phương của chúng sẽ cùng phương.

   - Vì ∆₁ và ∆₂ song song nhau, nên và   không song song, do giá của vector cắt 2 đường thẳng đã cho.

b) Đường thẳng ∆₁ giao nhau với ∆₂

- Hai vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương.

- Ba vector và  có đồng phẳng. Trong trường hợp này, vectơ sẽ là vectơ chỉ phương của đường thẳng tạo bởi hai điểm M₁ và M₂. Do đó, ba vectơ này sẽ đồng phẳng.

c) Đường thẳng ∆₁ chéo nhau với ∆₂

- Hai vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương.

- Ba vector và  không đồng phẳng.

Luyện tập - vận dụng 5:

Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

Giải rút gọn:

Ta lập hệ phương trình từ tọa độ của hai đường thẳng:

Thay các tham số vào hệ phương trình, ta có:

Đường thẳng và có một điểm chung tại tọa độ (2, 1, 0). Do đó, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm này.

III. GÓC

1. Góc giữa 2 đường thẳng

Hoạt động 6:

Cho hai đường thẳng và trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là và . Giả sửvà là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với và (Hình 28).

a) Nêu mối liên hệ giữa hai góc và

b) Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng và sao cho , So sánh:

c) So sánh và

Giải rút gọn:

a) Vì song song với và song song với các vector chỉ phương của và cũng là và

Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa và , và góc giữa hai đường thẳng và cũng là góc giữa và Vì vậy:

 b) So sánh các giá trị cosin:

Vì và , ta có:

Do đó:

Vì góc giữa hai đường thẳng là góc giữa và , ta có:

c) Công thức tính góc giữa hai vector và là:

Do đó:

Vậy, ta có:

Luyện tập - vận dụng 6:

Cho đường thẳng:

Tính cosin góc giữa đường thẳng và các trục tọa độ 

Giải rút gọn:

Đường thẳng có vector chỉ phương  

Các trục tọa độ có các vector:

Côsin góc giữa :

Với Ox:

Với Oy:

Với Oz

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Hoạt động 7:

Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là  , đường thẳng có vectơ chỉ phương là   và đường thẳng cắt mặt phẳng (P) tại I. Gọi ' là hình chiếu của trên mặt phẳng (P) (Hình 29).

a) Hãy xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).

Ta kí hiệu góc đó là (, (P)).

b) So sánh sin(, (P)) và cos( ).

Giải rút gọn:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P):

b) Góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Vì là sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P), và là cosin của góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến , mối quan hệ giữa góc này là bù nhau. Do vậy, mối quan hệ giữa và là:

Luyện tập - vận dụng 7:

Cho mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến . Tính sin góc giữa mặt phẳng (P) với các trục tọa độ

Giải rút gọn:

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến  

Các trục tọa độ có các vector:

Sin góc giữa :

Với Ox:

Với Oy:

Với Oz

3. Góc giữa 2 mặt phẳng 

Hoạt động 8:

Cho 2 mặt phẳng (P₁) và (P₂). Lấy 2 đường thẳng sao cho , (Hình 31). 

a) Nêu cách xác định góc giữa 2 đường thẳng

b) Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn 2 đường thẳng như trên hay không?

Giải rút gọn:

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng chúng ta có thể sử dụng các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng và bởi vì vuông góc với các mặt phẳng này. Góc giữa và chính là góc giữa các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng và .

b) Vì góc giữa và   thực chất là góc giữa các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và . Bất kể vị trí cụ thể của và trên các mặt phẳng đó, miễn là chúng vuông góc với các mặt phẳng tương ứng, vectơ chỉ phương của và sẽ tương ứng với các vectơ pháp tuyến của và  .

Do đó, góc giữa hai đường thẳng và  chỉ phụ thuộc vào góc giữa hai mặt phẳng và , chứ không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của và trên các mặt phẳng đó.

Luyện tập - vận dụng 8:

Trong ví dụ 10, tính góc giữa 2 mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’).

Giải rút gọn:

Xét hình vuông ABCD có , hình vuông DCC’D’ có

Suy ra

Xét hình vuông ABCD có , hình vuông BCC’B’ có

Suy ra BC

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’) là góc giữa CD và BC

Mà . Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’) bằng 90 độ.

Hoạt động 9:

Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂). Gọi:

Lần lượt là hai vector pháp tuyến của (P₁), (P₂); lần lượt là giá của 2 vector (hình 33). So sánh:

a) và

b) và

Giải rút gọn:

a) Góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng, tức là góc giữa và

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng và được tính bằng:

Góc giữa hai đường thẳng và cũng là góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng, tức là giữa và .

Cosin của góc giữa hai đường thẳng và cũng được tính bằng:

Vì vậy, ta có:

b) Cosin của góc giữa hai vector và được tính bằng:

Vì và là đường thẳng có phương song song với và tương ứng, ta có:

Do đó:

Luyện tập - vận dụng 9:

Cho mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến

Tính cosin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng tọa độ.

Giải rút gọn:

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến  

Các trục tọa độ có các vector:

Cosin góc giữa :

Với Ox:

Với Oy:

Với Oz

IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG THỰC TIỄN 

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1:

Đường thẳng đi qua điểm A(3;2;5) nhận làm vector chỉ phương có phương trình tham số là:

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm A(3;2;5) nhận làm vector chỉ phương có phương trình tham số là:

Đáp án D.

Bài 2:

Đường thẳng đi qua điểm B(-1;3;6) nhận   làm vector chỉ phương có phương trình chính tắc là:

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đường thẳng đi qua điểm B(-1;3;6) nhận   làm vector chỉ phương có phương trình chính tắc là:

Đáp án C.

Bài 3:

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Vector pháp tuyến của

Vector pháp tuyến của

Vector pháp tuyến của

Vector pháp tuyến của

Vector pháp tuyến của

Kiểm tra các vector pháp tuyến:

Vậy (P₃) vuông góc với (P). Đáp án C

Bài 4:

Cho đường thẳng có phương trình tham số 
(t là tham số)

a) Chỉ ra một tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng

b) Điểm nào trong các điểm C(6;-7;-16), D(-3;11;-11) thuộc đường thẳng

Giải rút gọn:

a) Cho t = 1, ta có:

Cho t=2, ta có:

Ta có 2 điểm A(0;5;2) và B(-1;7;5) thuộc đường thẳng

b) Thay C(6;-7;-16), D(-3;11;-11) vào hệ phương trình, ta có:

Điểm C:

Vậy điểm C(6;-7;-16) thuộc đường thẳng

Điểm D:

Vậy điểm D(-3;11;-11) không thuộc đường thẳng

Bài 5:

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) đi qua điểm A(-1;3;2) và có vector chỉ phương ;

b) đi qua điểm M(2;-1;3) và N(3;0;4).

Giải rút gọn:

a) Phương trình chính tắc của đi qua điểm A(-1;3;2) và có vector chỉ phương là:

b) đi qua điểm M(2;-1;3) và N(3;0;4).

Vector chỉ phương của

Phương trình chính tắc của đi qua điểm M(2;-1;3) và có vector chỉ phương :

Bài 6:

Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) và

b) với

c) và

Giải rút gọn:

a) Ta có:

Vector chỉ phương của

Vector chỉ phương của

Xét tỉ số:

Thay I(1;2;3) vào

Vậy hai đường thẳng song song và không trùng nhau.

b) Ta có:

Vector chỉ phương của

Vector chỉ phương của

Xét tỉ số:

Hai vector không tỉ lệ với nhau, vậy 2 đường thẳng không song song

Phương trình tham số của

Cho

Từ (1) và (2), ta có:

Phương trình này vô lý, vậy hệ phương trình vô nghiệm. Do đó 2 đường thẳng chéo nhau.

c) Vector chỉ phương của

Vector chỉ phương của

Xét tỉ số:

Hai vector không tỉ lệ với nhau, vậy 2 đường thẳng không song song

Phương trình tham số của

Phương trình tham số của

Cho

Thay k ở (1) vào (2)

Suy ra:

Thay vào (2):

Hệ phương trình vô nghiệm. Do đó 2 đường thẳng chéo nhau.

Bài 7:

Tính góc giữa hai đường thẳng trong mỗi trường hợp sau(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)

a)

b)

c)

Giải rút gọn:

a) - Vector chỉ phương của

- Vector chỉ phương của

Sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vector:

 b) - Vector chỉ phương của

- Vector chỉ phương của

Góc giữa 2 đường thẳng:

Góc giữa 2 đường thẳng:

c) Ta có:

- Vector chỉ phương của

- Vector chỉ phương của

Góc giữa 2 đường thẳng:

Bài 8:

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ( t là tham số ) và (P):

b) ( t là tham số ) và (P):

Giải rút gọn:

a) Vector chỉ phương của Δ là:

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) là góc giữa vector chỉ phương và vector pháp tuyến của mặt phẳng.

b) Vector chỉ phương của Δ là:

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) là góc giữa vector chỉ phương và vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Bài 9:

Tính góc giữa mặt phẳng và

Giải rút gọn:

- Mặt phẳng có vector pháp tuyến

   - Mặt phẳng có vector pháp tuyến

Góc giữa 2 mặt phẳng

Bài 10:

Cho hình chóp S.ABCD trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có các đỉnh lần lượt là:

a) Xác định tọa độ của các vector Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Giải rút gọn: 

a) -  Vector

-Vector

Góc giữa hai đường thẳng SA và CD:

b)

Vector pháp tuyến:

Vector chỉ phương của SD:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Bài 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét) một máy bay đang ở vị trí A(3,5;-2;0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) có nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5° đến 3,5° hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm M(5;0;0),

 N(0;-5; 0), P(0; 0; 0,5). Tìm tọa độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m.

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5; 6,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Giải rút gọn:

a) Vector chỉ phương của đường thẳng AB:

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

b) Tính góc giữa đường thẳng  AB và mặt phẳng (Oxy):

Vector chỉ phương của AB  là

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là

Góc giữa đường thẳng  AB và mặt phẳng (Oxy):

c) Xác định điểm C khi máy bay xuyên qua đám mây:

Mặt phẳng qua các điểm và

Vector

Vector

Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng:

Điểm C  khi  z = 0.5:

Với t = -0.25:

Tọa độ C(3.5, -3.875, 0.5)

d) Với z = 120:

Với t = -299:

Tọa độ D(3.5, -2244.5, 120)

e) Xác định điểm D khi phi công nhìn thấy E:

Phương trình mặt phẳng (E ):

- Điểm E phải thỏa mãn