BÀI 1. NGUYÊN HÀM

I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM

Hoạt động 1:

Cho hàm số , Tính F’(x).

Giải rút gọn:

Luyện tập - vận dụng 1:

Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào?

Giải rút gọn:

Nguyên hàm của hàm số là vì (với mọi  

Hoạt động 2:

Cho hàm số . Cho hàm số .   

a) Cả 2 hàm số F(x) và G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số trên R hay không?

b) Hiệu F(x)-G(x) có phải là một hằng số C không phụ thuộc vào x hay không?

Giải rút gọn:

a) Cả 2 hàm số F(x) và G(x) là nguyên hàm của hàm số . 

Vì và với mọi  

b) Ta có là một hằng số không phụ thuộc vào x

Luyện tập - vận dụng 2:

Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số trên R

Giải rút gọn:

Hàm số có nguyên hàm là hàm với  vì với mọi C và x

Luyện tập – vận dụng 3:

Chứng tỏ rằng:

Giải rút gọn:

Do nên là nguyên hàm của hàm số trên . Vậy

II. TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM

Hoạt động 3:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0. 

a) Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên K. Hỏi có phải nguyên hàm của hàm số trên K hay không?

b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về và

Giải rút gọn:

a) F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên K. Hỏi có phải nguyên hàm của hàm số trên K vì với mọi k là hằng số thực khác 0 trên K.

b) Ta có . Do, ta có . Rút gọn k, ta có . Do đó H(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) . Vì

Luyện tập - vận dụng 4:

Chứng tỏ rằng: với n là số nguyên dương.

Giải rút gọn:

Do nên là một nguyên hàm của hàm số . 

Vậy

Hoạt động 4:

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi 

F(x) + G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?

b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) -F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?

c)Nêu nhận xét về và

Giải rút gọn:

a) Ta có . Vậy F(x) + G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Ta có:

Vì vậy G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

c) Đặt  , và

Ta có

Vì vậy

Luyện tập - vận dụng 5:

Tìm

Giải rút gọn:

Ta có:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1:

Hàm số là nguyên hàm của hàm số:

A)

B)

C)

D.

Giải rút gọn:

A)

B)

C)

D) 

Đáp án B đúng, vì thỏa mãn điều kiện F(x) =f’(x) và có đầy đủ hằng số C ( do f’(x) + C là họ nguyên hàm của hàm F(x)).

Bài 2:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

a)

b)

c)

Giải rút gọn:

Bài 3:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số , biết F(-1) = -5

Giải rút gọn:

Mà F(-1) = -5

Suy ra:

Vậy C = -10

Vậy nguyên hàm F(x) của hàm số đã cho là

Bài 4:

Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng uốn và tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức , trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây khi kết thúc t (năm) (Nguồn R.Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Biết rằng cây con khi được trồng cao 12cm.

a) Viết công thức tính chiều cao của cây sau t năm 

b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu cm

Giải rút gọn:

a) Để tìm chiều cao của cây sau t năm, ta cần nguyên hàm hàm số h’(t) để tìm hàm h(t):

Mà khi được trồng, cây con cao 12cm, tức là khi t = 0, h(0) = 12cm

Vì vậy C = 12. Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là:

b) Cây được bán sau 6 năm, do đó t =6. Chiều cao của cây khi được bán là:

Vậy khi được bán, cây cao 69cm.

Bài 5:

Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số:

Trong đó t tính bằng giờ ( 0 ≤ t ≤ 15), B’(t) tính bằng khách/giờ.

( Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016)

Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội. 

a) Viết công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 ≤ t ≤ 15.

b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tới tham dự lễ hội?

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?

Giải rút gọn:

a) Để tìm được công thức biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội, ta cần nguyên hàm hàm số B’(t):

Mà sau một giờ, có 500 người đã có mặt tại lễ hội, tức B(1) bằng 500. Ta có:

Vậy C = 95. Do đó, công thức biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là:

b) Số lượng khách tham gia sau 3 giờ là:

Vậy sau 3 giờ, có 2300 khách tham dự lễ hội.

c) Để tính số lượng khách lớn nhất tham dự lễ hội, ta cần tìm giá trị lớn nhất của B(t) trong khoảng 0 ≤ t ≤ 15. 

Giải phương trình bậc hai , ta được 2 nghiệm là t =10 hoặc t = 5.

Do đó, hàm số B(t) có các điểm cực trị là t = 0,5,10. Tính B(t) tại các điểm cực trị và tại điểm t lớn nhất =15:

Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 người, tại t =15.

d)

bằng 0 khi hoặc

Thay 2 giá trị t vào biểu thức , ta nhận thấy với giá trị , biểu thức . Từ đó suy ra là cực đại.Vậy tốc độ thay đổi lượng khách lớn nhất tương ứng với :

Vậy tốc độ thay đổi khách lớn nhất của lễ hội là 962 người/giờ

Bài 6:

Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi m(t) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi M(t) là số ngày công được tính hết đến ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M’(t) =m(t). 

Một công trình xây dựng được dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số 

Trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 400) m(t) tính theo người.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016)

Đơn giá cho một ngày công lao động là 400.000 đồng.

Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).

Giải rút gọn:

Để tính được chi phí nhân công lao động của công trình, ta cần biết số ngày thi công dự án. Theo đề bài, số ngày công được xác định bằng cách lấy nguyên hàm của hàm m(t):

Mà tại t =0, số ngày công là 0, tức là M(0)=0.

Thay t=0, ta có:

C=0. Do đó,

Công trình được dự kiến hoàn thành trong 400 ngày, do đó ta cần tính M(400):

Một ngày công lao động có đơn giá là 400.000 đồng. Tổng chi phí nhân công là:

đồng

Vậy, chi phí nhân công lao động của công trình đó cho đến lúc hoàn thành là 64 tỷ đồng.