BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

Bài 1:

 Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:

A.

B. .

C. .

D.

Giải rút gọn:

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Đáp án: B

Bài 2:

A.

B.

C.

D.

Giải rút gọn:

Đáp án D

Bài 3:

a) Mặt cầu có bán kính là:

A. 10 .

B. 11 .

C. 12 .

D. 13 .

b) Toạ độ tâm của mặt cầu là:

A..

B..

C. .

D. .

Giải rút gọn:

a)

Đáp án A

b) Toạ độ tâm của mặt cầu là:

Đáp án C

Bài 4:

Khoảng cách từ điểm M(a;b;c) đến mặt phẳng là:

A. |a+b|

B. |b+c|

C. |c+a|

D.

Giải rút gọn:

Đáp án B.

Bài 5:

Cho bốn điểm

a) Tìm toạ độ của hai vectơ và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của hai đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC)

Giải rút gọn:

a) Tọa độ của vectơ

Tọa độ của vectơ

Vectơ vuông góc với cả hai vectơ và

Vậy một vectơ vuông góc với và là (1; 1; 1).

b) Phương trình tham số của đường thẳng AB chứa điểm A có tọa độ (0; 1;3) và vectơ chỉ phương

Phương trình tham số là:

Phương trình tham số của đường thẳng AC điểm A có tọa độ (0;1;3) và vectơ chỉ phương :

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Phương trình chính tắc của đường thẳng AC:

c) Mặt phẳng (ABC) nhận \vec{n} = (1;1;1). là vector pháp tuyến và đi qua A (0;1;3)

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:

d) Ta có: Điểm D có tọa độ (1; 1; -2) thay vào phương trình mặt phẳng (ABC):

Vì điểm D không thỏa mãn phương trình mặt phẳng (ABC), nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm D (1;1; -2) đến mặt phẳng ( x + y + z - 4 = 0 ) được tính bằng công thức:

Bài 6:

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(-3;1;4) và có một vectơ pháp tuyến là ;

b) (P) đi qua điểm N(2;-1;5) và có cặp vectơ chỉ phương là và

c) (P) đi qua điểm I(4;0;-7) và song song với mặt phẳng ;

d) (P) đi qua điểm K(-4;9;2) và vuông góc với đường thẳng

Giải rút gọn:

a) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-3;1;4) và có một vectơ pháp tuyến là

b) Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (P):

Phương trình mặt phẳng (P) là:

c) Nếu (P) song song với (Q), thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến (2; 1; -1).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

d) Vectơ chỉ phương của đường thẳng là (2; 1; 5), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (2; 1; 5) do

Phương trình mặt phẳng (P) là:

Bài 7:

Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(4;-2;1) và bán kính R=9;

b) (S) có tâm I(3;2;0) và đi qua điểm M(2;4;-1);

c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1;2;0) và B(-1;0;4)

Giải rút gọn: 

a) Mặt cầu (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính R = 9:

b) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1)

Để tìm bán kính R, ta tính khoảng cách từ điểm M đến tâm I:

Phương trình của mặt cầu là:

c) Tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tọa độ của trung điểm I là:

Để tìm bán kính R, ta tính khoảng cách từ điểm A đến tâm I:

Phương trình của mặt cầu là:

Bài 8:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

a) =  và =

b =  và =

c) =  và =

Giải rút gọn:

 a) Vectơ chỉ phương của là

Vectơ chỉ phương của là

Ta xét tỉ lệ:

  và không tỉ lệ

Phương trình tham số của

Phương trình tham số của

Cho

Ta có:

Thay t vào các phương trình còn lại:

Hệ phương trình có 1 nghiệm (t;s)=(1;3). Vậy 2 đường thẳng cắt nhau.

 b) Vectơ chỉ phương củalà

Vectơ chỉ phương của là

Xét tỉ lệ:

và tỉ lệ với nhau. Xét điểm (2;-1;4) thuộc . Thay vào :

Vậy 2 đường thẳng song song.

c) Vectơ chỉ phương của là

Vectơ chỉ phương của là

Xét 2 tỉ lệ:

và không tỉ lệ

Xét:

Điểm trên

Điểm trên

Cho

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

Từ phương trình thứ 2, ta có:

Cho (1)=(2)

Thay s vào phương trình 2:

Thay s vào phương trình 1:

Phương trình 1 mâu thuẫn với phương trình 2

Hệ phương trình không có nghiệm, do vậy 2 đường chéo nhau.

Bài 9:

Tính góc giữa hai đường thẳng và, biết và (t₁,t₂ là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Giải rút gọn:

Vectơ chỉ phương của là

Vectơ chỉ phương của là

Góc giữa hai đường thẳng và được tính bằng công thức cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương

Bài 10:

10. Tính góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đĉ́n hàng đơn vị của độ), biết (t là tham số) và

Giải rút gọn:

Vectơ chỉ phương của là

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

Bài 11:

Tính góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) biết và

Giải rút gọn:

Ta có:

Vectơ pháp tuyến của là

Vectơ pháp tuyến của là

Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng:

Bài 12:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có 0(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0 ; a) với a > 0.

a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.

c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD).

d) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (CO’D) và (C’BD)

Giải rút gọn:

a) Ta có:

OC’ thuộc mặt phẳng (OB’C’C). Mà

Vậy O’C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Giao điểm của đường chéo O'C với mặt phẳng (OB'D') xảy ra tại điểm mà O'C cắt mặt phẳng, tức là trung điểm của O'C, do tính đối xứng của hình lập phương. Trọng tâm của tam giác OB'D' chính là điểm cách đều ba đỉnh, và trong hình học phẳng đối xứng này, trọng tâm cũng chính là trung điểm của O'C.

c) Ta có:

C′ là điểm nằm trên mặt phẳng song song với mặt phẳng (OO’D’D) và cách đều các mặt phẳng khác. Do đó C’(a;a;a).

BB’ vuông góc với OB và song song với OO’. Vậy B’(a;0;a)

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (C’BD)

Từng thành phần:

Phương trình mặt phẳng (C’BD) đi qua điểm C’:

Khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (C’BD) được tính theo công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

d) Vector pháp tuyến của mặt phẳng (CO’D)

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (C’BD)

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng được tính theo công thức:

Bài 13:

Hình 43 minh họa đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là chân tháp điều khiển của sân bay;trục Ox là hướng đông (Đ), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng,đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Trực thăng cất cánh từ điểm G. Vectơ r chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm 1 phút sau khi cất cánh (t>0) có toạ độ là: 

a) Tìm góc mà đường bay tạo với phương ngang.

b) Lập phương trình đường thẳng GF, trong đó F là hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km. Tìm toạ độ điểm mà máy bay trực thăng bắt đầu đi vào đám mây.

d) Giả sử một đỉnh núi nằm ở điểm M(5; 4,5; 3). Tìm giá trị của 1 khi HM vuông góc với đường bay GH. Tìm khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó.

Giải rút gọn:

a) Để tìm góc mà đường bay tạo với phương ngang, ta cần tính góc giữa vectơ và mặt phẳng Oxy. Điều này tương đương với tính góc giữa vectơ    } và trục Oz.

Vectơ chỉ phương của đường bay là = (1; 2;2).

Cosin của góc được tính theo công thức:

Góc mà đường bay tạo với phương ngang là:

b) Để tìm phương trình đường thẳng GF, trước hết chúng ta cần xác định tọa độ điểm G và điểm F.

Điểm G là điểm bắt đầu cất cánh của trực thăng: G = (1; 0.5;0)

Hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy) là điểm F, trong đó F có tọa độ:

F = (1 + t; 0.5 + 2t; 0)

Tọa độ của điểm F là khi z = 0, nghĩa là:

Vậy tọa độ điểm F là: F = (1; 0.5; 0)

Phương trình đường thẳng GF đi qua hai điểm G(1, 0.5, 0) và F(1, 0.5, 0). Nhưng vì G và F trùng nhau, đường thẳng GF là đường thẳng đứng qua điểm G (và F).

Phương trình đường thẳng GF là:

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km, tức là khi z = 2.

Ta có phương trình vị trí của trực thăng:

Để tìm thời điểm t khi z = 2:

Tọa độ điểm trực thăng bắt đầu đi vào đám mây:

d) Để HM vuông góc với đường bay GH, tích vô hướng của vectơ và vectơ chỉ phương của đường bay phải bằng 0.

Vị trí của trực thăng tại thời điểm t:

Vectơ

Vectơ chỉ phương của đường bay:

Tích vô hướng

Tọa độ của trực thăng tại thời điểm t = 2:

Khoảng cách từ trực thăng đến đỉnh núi M(5, 4.5, 3) tại thời điểm t = 2:

Vậy, khoảng cách từ trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó là:

Bài 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ 0(0;0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(-688;185;8), chuyển động theo đường thẳng ở có vectơ chỉ phương là (91; 75; 0) và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).

a) Xác định toạ độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

b) Xác định toạ độ của vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó.

c) Xác định toạ độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa.

Giải rút gọn:

a)

Để xác định tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar, ta cần tìm tọa độ của điểm mà máy bay bắt đầu đi vào phạm vi 417 km từ đài kiểm soát không lưu O(0,0,0).

Phương trình đường thẳng đi qua điểm  A(-688; 185; 8)  và có vectơ chỉ phương  :

Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

 Máy bay sẽ xuất hiện trên màn hình radar khi khoảng cách từ máy bay tới đài kiểm soát không lưu bằng 417 km. Ta có:

Trong đó:   

Giải phương trình bậc hai này để tìm  t :   

Chọn nghiệm  = 3.62  (vì máy bay bay về phía đài kiểm soát nên sẽ gặp màn hình radar sớm hơn):

Vậy tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar là (-359.78; 456.50; 8).

b) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian được tính bằng cách chiếu vectơ từ điểm đó đến một điểm bất kỳ trên đường thẳng lên vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Ta có:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Giá trị  t  mà chúng ta cần là giá trị sao cho chiếu lên là vuông góc với vectơ chỉ phương

Điều này xảy ra khi tích vô hướng của vectơ  và vectơ chỉ phươngbằng 0:

Tọa độ điểm gần đài kiểm soát nhất:

Vậy tọa độ của vị trí máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất là (-369.5, 447.5, 8).

Khoảng cách từ điểm này đến gốc tọa độ (đài kiểm soát) là:

Vậy khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là khoảng 580.26 km.