BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

PHẦN I. HỆ THỐNG BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:

A.

B. .

C. .

D.

Bài 2: Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:

A.

B.

C.

D.

Bài 3: a) Mặt cầu có bán kính là:

A. 10 .

B. 11 .

C. 12 .

D. 13 .

b) Toạ độ tâm của mặt cầu là:

A..

B..

C. .

D. .

Bài 4: Khoảng cách từ điểm M(a;b;c) đến mặt phẳng là:

A. |a+b|

B. |b+c|

C. |c+a|

D.

Bài 5: Cho bốn điểm

a) Tìm toạ độ của hai vectơ và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của hai đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC)

Bài 6: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(-3;1;4) và có một vectơ pháp tuyến là ;

b) (P) đi qua điểm N(2;-1;5) và có cặp vectơ chỉ phương là và

c) (P) đi qua điểm I(4;0;-7) và song song với mặt phẳng ;

d) (P) đi qua điểm K(-4;9;2) và vuông góc với đường thẳng

Bài 7: Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(4;-2;1) và bán kính R=9;

b) (S) có tâm I(3;2;0) và đi qua điểm M(2;4;-1);

c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1;2;0) và B(-1;0;4)

Bài 8: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

a) = và =

b = và =

c) = và =

Bài 9: Tính góc giữa hai đường thẳng và, biết và (t₁,t₂ là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Bài 10: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đĉ́n hàng đơn vị của độ), biết (t là tham số) và

Bài 11: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) biết và

Bài 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có 0(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0 ; a) với a > 0.

a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.

c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD).

d) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (CO’D) và (C’BD)

Bài 13: Hình 43 minh họa đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là chân tháp điều khiển của sân bay;trục Ox là hướng đông (Đ), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng,đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Trực thăng cất cánh từ điểm G. Vectơ r chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm 1 phút sau khi cất cánh (t>0) có toạ độ là: 

a) Tìm góc mà đường bay tạo với phương ngang.

b) Lập phương trình đường thẳng GF, trong đó F là hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km. Tìm toạ độ điểm mà máy bay trực thăng bắt đầu đi vào đám mây.

d) Giả sử một đỉnh núi nằm ở điểm M(5; 4,5; 3). Tìm giá trị của 1 khi HM vuông góc với đường bay GH. Tìm khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó.

Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ 0(0;0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(-688;185;8), chuyển động theo đường thẳng ở có vectơ chỉ phương là (91; 75; 0) và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).

a) Xác định toạ độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

b) Xác định toạ độ của vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó.

c) Xác định toạ độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa.

PHẦN II. 5 PHÚT GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Đáp án B

Bài 2: Đáp án D

Bài 3: a) Đáp án A

b) Đáp án C

Bài 4: Đáp án B

Bài 5: a) Vectơ vuông góc với và là (1; 1; 1).

b) Phương trình tham số của đường thẳng AC điểm A có tọa độ (0;1;3) và vectơ chỉ phương :

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Phương trình chính tắc của đường thẳng AC:

c) Phương trình mặt phẳng (ABC):

d) Điểm D có tọa độ (1; 1; -2) thay vào phương trình mặt phẳng (ABC):

Vì điểm D không thỏa mãn phương trình mặt phẳng (ABC), nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e)

Bài 6: a)

b)

c)

d)

Bài 7: a)

b)

c)

Bài 8: a) 2 đường thẳng cắt nhau.

b) 2 đường thẳng song song.

c) 2 đường chéo nhau.

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Bài 12: a) OC’ thuộc mặt phẳng (OB’C’C). Mà

Vậy O’C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Giao điểm của đường chéo O'C với mặt phẳng (OB'D') xảy ra tại điểm mà O'C cắt mặt phẳng, tức là trung điểm của O'C, do tính đối xứng của hình lập phương. Trọng tâm của tam giác OB'D' chính là điểm cách đều ba đỉnh, và trong hình học phẳng đối xứng này, trọng tâm cũng chính là trung điểm của O'C.

c)

d)

Bài 13: a)

b) Phương trình đường thẳng GF là:

c) Tọa độ điểm trực thăng bắt đầu đi vào đám mây:

d) Khoảng cách từ trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó là:

Bà 14: a) Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar là (-359.78; 456.50; 8).

b) Tọa độ của vị trí máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất là (-369.5, 447.5, 8).

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là khoảng 580.26 km.