BÀI 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

I. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

Hoạt động 1: Trong không gian với hệ tọa độ (Hình 36), cho hai vecto và .

1. Biểu diễn các vecto , theo ba vecto , , .
2. Biểu diễn các vecto , , theo ba vecto , , .
3. Tìm tọa độ các vecto , , .

Đáp án chuẩn:

a) .

.

b)

().

c)  

Luyện tập 1: 

1. Cho , , . Tìm tọa độ của vecto .
2. Cho ba điểm , , . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.

Đáp án chuẩn:

a)

b) , , thẳng hàng

II. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG. TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC

Hoạt động 2:

1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .

• Biểu diễn vecto theo hai vecto và .
• Tính tọa độ của điểm theo tọa độ của các điểm và .

1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có trọng tâm .

• Biểu diễn vecto theo ba vecto , , .

Tính tọa độ của điểm theo tọa độ của các điểm , , .

Đáp án chuẩn:

a)

.

b)

Luyện tập 2: Cho ba điểm , , . 

1. Chứng minh rằng ba điểm , , khổng thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ điểm sao cho là trọng tâm của tam giác .

Đáp án chuẩn:

a) , , khổng thẳng hàng

b)

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 

Hoạt động 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các vecto , . Hãy biểu diễn các vecto , theo ba vecto đơn vị , , và tích vô hướng .

Đáp án chuẩn:

Luyện tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , và . Chứng minh rằng tam giác vuông tại .

Đáp án chuẩn:

Tam giác vuông tại

IV. CÁCH TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO VUÔNG GÓC VỚI HAI VECTO CHO TRƯỚC

Hoạt động 4: 

1. Cho hình lập phương có , , , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto và . 
2. Cho hai vecto và không cùng phương. Xét vecto .

• Tính , .
• Vecto có vuông góc với cả hai vecto và hay không?

Đáp án chuẩn:

a)

b) vuông góc với cả hai vecto và

Luyện tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vecto và . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto và .

Đáp án chuẩn:

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và . Tọa độ của vecto là:

A.

B.

C.

D.

Đáp án chuẩn:

C.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và . Góc giữa hai vecto và bằng:

Đáp án chuẩn:

A. 60^o

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , .

1. Tìm tọa độ của vecto .
2. Tìm tọa độ của vecto sao cho .

Đáp án chuẩn:

1. .
2. 

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto và .

Đáp án chuẩn:

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ, cho , . Tính cosin của góc .

Đáp án chuẩn:

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , .

1. Chứng minh rằng ba điểm , , không thẳng hàng.
2. Tính chu vi tam giác .
3. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .
4. Tính .

Đáp án chuẩn:

a) , , không thẳng hàng.

b) Chu vi tam giác là:

c)

d)

Bài 7: Cho hình hộp , biết , , , . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác vuông góc với cả hai vecto trong mỗi trường hợp sau:

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 8: 

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm , , trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây , , đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi là độ lớn của các lực căng , , trên mỗi sợi dây. Khi đó, là một hàm số với biến số là .

1. Xác định công thức tính hàm số .
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .

Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Đáp án chuẩn:

a) với

b) Bảng biến thiên:

c) Chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là (m) (in)