PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vector chỉ phương của đường thẳng

Hoạt động 1 trang 65 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. (Hình 23). Giá của vector và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?

Đáp án chuẩn:

Giá của vector // đường thẳng AC

Luyện tập-vận dụng 1 trang 65 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong Hình 23, vectơ có là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD hay không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Vectơ  là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD 

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Hoạt động 2 trang 66 sgk toán 12 tập 2 cd

 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương Xét điểm M₀(x;y;z) nằm trên (Hình 24).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ và

b) Có hay không số thực k sao cho ?

c) Hãy biểu diễn x, y, z qua k.

d) Toạ độ (x; y, z) của điểm M₀ (nằm trên ) có thoả mãn hệ phương trình:

hay không?

Đáp án chuẩn:

a) 2 vector và cùng phương

b) Số thực t = 1 sao cho

c) 

d) Tọa độ của điểm M hoàn toàn thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Luyện tập- vận dụng 2 trang 67 sgk toán 12 tập 2 cd

Viết phương trình tham số của đường thẳng , biết đi qua điểm (C(1;2;-4))

và vuông góc với mặt phẳng (P):

Đáp án chuẩn:

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Hoạt động 3 trang 67 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho đường thẳng có phương trình tham số:

(t là tham số)

Tọa độ (x;y;z) của điểm M nằm trên có thỏa mãn hệ phương trình 

hay không?

Đáp án chuẩn:

M(x;y;z) thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Luyện tập-vận dụng 3 trang 68 sgk toán 12 tập 2 cd

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng biết phương trình tham số của là:

(t là tham số)

Đáp án chuẩn:

4. Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước:

Hoạt động 4 trang 68 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;5;9).

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Đáp án chuẩn:

a) 

b)

c)

Luyện tập-vận dụng 4 trang 69 sgk toán 12 tập 2 cd

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM biết M(a;b;c) với

Đáp án chuẩn:

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 5 trang 69 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho 2 đường thẳng phân biệt lần lượt đi qua các điểm tương ứng có vector chỉ phương là  

a) Giả sử song song với (Hình 25). Các cặp vector sau có cùng phương không: , và ?

b) Giả sử với cắt nhau (Hình 26). Hai vector có cùng phương không? Ba vector và  có đồng phẳng không?

c) Giả sử với cắt nhau (Hình 27). Hai vector có cùng phương không? Ba vector và  có đồng phẳng không?

Đáp án chuẩn:

a) ; và   không song song

b) Hai vectơ chỉ phương không cùng phương.

- Ba vector và  có đồng phẳng.

c) - Hai vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương.

- Ba vector và  không đồng phẳng.

Luyện tập-vận dụng 5 trang 70 sgk toán 12 tập 2 cd

Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

Đáp án chuẩn:

Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm này.

III. GÓC

1. Góc giữa 2 đường thẳng

Hoạt động 6 trang 71 sgk toán 12 tập 2 cd

 Cho hai đường thẳng và trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là và . Giả sửvà là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với và (Hình 28).

a) Nêu mối liên hệ giữa hai góc và

b) Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng và sao cho , So sánh:

c) So sánh và

Đáp án chuẩn:

a)

 b)

c)

Luyện tập-vận dụng 6 trang 72 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho đường thẳng:

Tính cosin góc giữa đường thẳng và các trục tọa độ 

Đáp án chuẩn:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Hoạt động 7 trang 73 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là  , đường thẳng có vectơ chỉ phương là   và đường thẳng cắt mặt phẳng (P) tại I. Gọi ' là hình chiếu của trên mặt phẳng (P) (Hình 29).

a) Hãy xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).

Ta kí hiệu góc đó là (, (P)).

b) So sánh sin(, (P)) và cos( ).

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Luyện tập-vận dụng 7 trang 73 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến . Tính sin góc giữa mặt phẳng (P) với các trục tọa độ

Đáp án chuẩn:

3. Góc giữa 2 mặt phẳng 

Hoạt động 8 trang 74 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho 2 mặt phẳng (P₁) và (P₂). Lấy 2 đường thẳng sao cho , (Hình 31). 

a) Nêu cách xác định góc giữa 2 đường thẳng

b) Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn 2 đường thẳng như trên hay không?

Đáp án chuẩn:

a) Góc giữa và chính là góc giữa các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng và .

b) Góc giữa hai đường thẳng và  chỉ phụ thuộc vào góc giữa hai mặt phẳng và , chứ không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của và trên các mặt phẳng đó.

Luyện tập-vận dụng 8 trang 74 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong ví dụ 10, tính góc giữa 2 mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’).

Đáp án chuẩn:

Góc giữa 2 mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’) bằng 90 độ.

Hoạt động 9 trang 75 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂). Gọi:

Lần lượt là hai vector pháp tuyến của (P₁), (P₂); lần lượt là giá của 2 vector (hình 33). So sánh:

a) và

b) và

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Luyện tập-vận dụng 9 trang 75 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến

Tính cosin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng tọa độ.

Đáp án chuẩn:

IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG THỰC TIỄN 

BÀI TẬP

Bài 1 trang 78 sgk toán 12 tập 2 cd

Đường thẳng đi qua điểm A(3;2;5) nhận làm vector chỉ phương có phương trình tham số là:

A.

B.

C.

D.

Đáp án chuẩn:

D.

Bài 2 trang 78 sgk toán 12 tập 2 cd

Đường thẳng đi qua điểm B(-1;3;6) nhận   làm vector chỉ phương có phương trình chính tắc là:

A.

B.

C.

D.

Đáp án chuẩn:

C.

Bài 3 trang 78 sgk toán 12 tập 2 cd

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Đáp án chuẩn:

C.

Bài 4 trang 78 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho đường thẳng có phương trình tham số 
(t là tham số)

a) Chỉ ra một tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng

b) Điểm nào trong các điểm C(6;-7;-16), D(-3;11;-11) thuộc đường thẳng

Đáp án chuẩn:

a) A(0;5;2) và B(-1;7;5)

b) Điểm C(6;-7;-16) thuộc đường thẳng

Bài 5 trang 78 sgk toán 12 tập 2 cd

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) đi qua điểm A(-1;3;2) và có vector chỉ phương ;

b) đi qua điểm M(2;-1;3) và N(3;0;4).

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 6 trang 79 sgk toán 12 tập 2 cd

Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) và

b) với

c) và

Đáp án chuẩn:

a)

b) 2 đường thẳng chéo nhau.

c) 2 đường thẳng chéo nhau.

Bài 7 trang 79 sgk toán 12 tập 2 cd

Tính góc giữa hai đường thẳng trong mỗi trường hợp sau(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)

a)

b)

c) 

Đáp án chuẩn:

a)

 b)

c)

Bài 8 trang 79 sgk toán 12 tập 2 cd

 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ( t là tham số ) và (P):

b) ( t là tham số ) và (P):

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 9 trang 79 sgk toán 12 tập 2 cd

Tính góc giữa mặt phẳng và

Đáp án chuẩn:

Bài 10 trang 80 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hình chóp S.ABCD trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có các đỉnh lần lượt là:

; ; ; ;

a) Xác định tọa độ của các vector Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Đáp án chuẩn: 

a)

b) Vector pháp tuyến: ;

Bài 11 trang 80 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét) một máy bay đang ở vị trí A(3,5;-2;0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) có nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5° đến 3,5° hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm M(5;0;0),

 N(0;-5; 0), P(0; 0; 0,5). Tìm tọa độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m.

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5; 6,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Đáp án chuẩn:

a) Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

b)

c) C(3.5, -3.875, 0.5)

d) D(3.5, -2244.5, 120)

e) Điểm E phải thỏa mãn