TÍCH PHÂN

I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 

1. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân 

Hoạt động 1 trang 17 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Cho hàm số . Xét hình phẳng ( được tô màu) gồm tất cả điểm M(x,y) trên mặt phẳng tọa độ sao . Hình phẳng đó gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục Ox và đường thẳng x=1, x=2. 

Chia đoạn [1;2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

a) Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao

Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao

Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao

Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao

b) Đặt Chứng minh rằng:

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Luyện tập-vận dụng 1 trang 19 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Cho đồ thị hàm số Xét tam giác vuông OAB giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục Ox và đường thẳng x=2.

a) Tính diện tích tam giác vuông OAB.

b) Giả sử F(x) là 1 nguyên hàm của trên đoạn [0,2]. Chứng tỏ rằng

Đáp án chuẩn:

a) S.OAB

b)

2. Định nghĩa tích phân 

Hoạt động 2 trang 10 sgk toán 12 tập 2 cd 2

Cho hàm số

a) Chứng tỏ rằng là các nguyên hàm của hàm số .

b) Chứng minh rằng , tức là hiệu số không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm. 

Đáp án chuẩn:

a) là các nguyên hàm của hàm số

b)

Vậy hiệu số không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm. 

Luyện tập-vận dụng 2 trang 20 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Tính

Đáp án chuẩn:

II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Hoạt động 3 trang 21 sgk toán 12 tập 2 cd 1

So sánh và :

Đáp án chuẩn:

=

Luyện tập-vận dụng 3 trang 21 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Cho

Tính

Đáp án chuẩn:

Hoạt động 4 trang 21 sgk toán 12 tập 2 cd 1

So sánh:

a) và  

b) và

Đáp án chuẩn:

a) =

b) =

Luyện tập-vận dụng 4 trang 22 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Tính

Đáp án chuẩn:

Hoạt động 5 trang 22 sgk toán 12 tập 2 cd 1

So sánh và :

Đáp án chuẩn:

=

Luyện tập-vận dụng 5 trang 22 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Tính

Đáp án chuẩn:

III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Luyện tập-vận dụng 6 trang 23 sgk toán 12 tập 2 cd 1

a)

b)

c)

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

2. Tích phân của hàm số

Luyện tập-vận dụng 7 trang 23 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Tính

Đáp án chuẩn:

3. Tích phân của hàm số lượng giác

Luyện tập-vận dụng 8 trang 24 sgk toán 12 tập 2 cd 1

Tính: 

a)

b)

Đáp án chuẩn:

a)

b)

4. Tích phân của hàm số mũ

Luyện tập-vận dụng 9 trang 25 sgk toán 12 tập 2 cd 1

a)

b)

Đáp án chuẩn:

a)

b)

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 trang 26 toán 12 tập 2 cd

Tích phân có giá trị bằng:

A.

B.

C.

D.

Đáp án chuẩn:

A.

Bài 2 trang 26 toán 12 tập 2 cd

Tích phân có giá trị bằng:

A.

B.

C.

D.

Đáp án chuẩn:

D.

Bài 3 trang 26 toán 12 tập 2 cd

Tích phân có giá trị bằng:

A.

B.

C. -1

D. 1

Đáp án chuẩn:

B.

Bài 4 trang 26 toán 12 tập 2 cd

Cho , F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [-2;3], 

F(3) =8. Tính F(-2).

Đáp án chuẩn:

Bài 5 trang 27 toán 12 tập 2 cd

Cho Tính

Đáp án chuẩn:

Bài 6 trang 27 toán 12 tập 2 cd

 Tính:

a)

b)

c)

d)

e)

g)

h)

i)

k)

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c) 1

d) 7

e)

g)

h)

i)

k)

Bài 7 trang 27 toán 12 tập 2 cd

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y=v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi . Hãy giải thích vì sao biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b(a,b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức của câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ thời điểm t=0(giây) đến thời điểm (giây).

Đáp án chuẩn:

a) Vì vận tốc v(t) luôn dương trên [a;b], tích phân chính là tổng của các đoạn đường nhỏ mà vật đã di chuyển đi được từ thời điểm a đến thời điểm b, tức là biểu thị quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b.

b)

Bài 8 trang 27 toán 12 tập 2 cd

Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình 9.

a) Tính quãng đường của vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên. 

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 9 trang 27 toán 12 tập 2 cd

Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L⁻¹) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0 thoả mãn hệ thức: với x ≥ 0 Biết rằng tại x = 0 nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L⁻¹.

a) Xét hàm số với x ≥ 0. Hãy tính f'(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L¯¹) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức . Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây

Đáp án chuẩn:

a)

b) 0.00495 mol/L