BÀI 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. KHÁI NIỆM VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

1. Vecto, giá và độ dài của vecto, hai vecto cùng phương, hai vecto cùng hướng;

2. Vecto-không;

3. Hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau.

Đáp án chuẩn:

a) 

Vecto là một đoạn thẳng có hướng.

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vecto cùng hướng khi chúng có cùng chiều từ điểm đầu đến điểm cuối.

b) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ký hiệu là .

c) Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Luyện tập 1: Cho hình hộp . Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:

1. Bằng vecto ;

2. Là vectơ đối của vectơ .

Đáp án chuẩn:

a) , ,  

b) , ,  

II. CÁC PHÉP TOÁN VECTO TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 2: Trong không gian, cho hai vecto , . Lấy một điểm tùy ý.

1. Vẽ , .

2. Tổng của hai vecto và bằng vecto nào trong Hình 4?

Đáp án chuẩn:

a) 

b)

Luyện tập 2: Cho tứ diện . Chứng minh rằng .

Đáp án chuẩn:

Hoạt động 3: Cho hình hộp (Hình 6). Tìm liên hệ giữa: và ; và . Từ đó, hãy suy ra rằng: .

Đáp án chuẩn:

Luyện tập 3: Cho hình hộp . Chứng minh rằng: 

Đáp án chuẩn:

Hoạt động 4: Trong không gian, cho hai vecto , . Lấy một điểm tùy ý.

1. Vẽ , , .

2. Tổng của hai vecto và bằng vecto nào trong Hình 7?

Đáp án chuẩn:

a) 

b)

Luyện tập 4: Cho hình hộp . Chứng minh rằng:

Đáp án chuẩn:

Hoạt động 5: Nêu định nghĩa của một số thực và vecto trong mặt phẳng. 

Đáp án chuẩn:

Cho số thực và vecto . Tích của một số với vecto là một vecto, ký hiệu là , được xác định như sau:

Cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu ;

Có độ dài bằng

Luyện tập 5: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và , là trung điểm . Chứng minh rằng:

1. ;

2. .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Hoạt động 6: Trong không gian, cho hai vecto , khác . Lấy một điểm tùy ý. 

1. Vẽ hai vecto , .

2. Khi đó, hai vecto , có giá nằm trong cùng mặt phẳng (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vecto , trong mặt phẳng .

Đáp án chuẩn:

1. Hình 10.

2. Góc giữa hai vectơ , là góc giữa hai tia , và được ký hiệu là .

Luyện tập 6: Cho tứ diện đều . Gọi , lần lượt là trung điểm các cạnh , . Hãy tính góc giữa hai vectơ , .

Đáp án chuẩn:

Hoạt động 7: Trong không gian, cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng 3 cm (Hình 12).

1. Tính góc giữa hai vecto , .

2. Tính .

Đáp án chuẩn:

a) .

b)

Luyện tập 7: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính ; .

Đáp án chuẩn:

GIẢI CHI TIẾT 

Bài 1: Cho hình hộp . Vecto bằng vecto nào dưới đây?

Đáp án chuẩn:

A.

Bài 2: Cho tứ diện . Chứng minh rằng:

Đáp án chuẩn:

a) .

b) .

Bài 3: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính:

Đáp án chuẩn:

a) .

.

b) .

Bài 4: Cho hình hộp . Gọi là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng .

Đáp án chuẩn:

Bài 5: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật, mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp , , , có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng 60^o. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biến rằng các lực căng , , , đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3000 N.

Đáp án chuẩn:

Trọng lượng của chiếc xe ô tô là:

(N)