TUYẾN. CẶP VECTOR CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

1. Vector pháp tuyến

Hoạt động 1 trang 50 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (Hình 2). Giá của vector có vuông góc với mặt phẳng ABCD hay không?

Đáp án chuẩn:

Gía ⊥  (ABCD)

Luyện tập-vận dụng 1 trang 51 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của:

a) Mặt phẳng (Oyz);

b) Mặt phẳng (Ozx).

Đáp án chuẩn:

a) = (1;0;0) 

b) = (0;1;0) 

2. Cặp vector chỉ phương

Hoạt động 2 trang 51 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Cho biết hai vectơ có cùng phương hay không. Nhận xét về vị trí tương đối giữa giá của mỗi vectơ  và mặt phẳng (ABCD) (Hình 5).

Đáp án chuẩn:

nằm trong mặt phẳng ABCD

nằm ngoài mặt phẳng ABCD và // với mặt phẳng.

Luyện tập-vận dụng 2 trang 51 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mỗi mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Đáp án chuẩn:

Mặt phẳng (Oxy): i = (1, 0, 0);  j = (0, 1, 0)

Mặt phẳng (Oyz): j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1)

Mặt phẳng (Ozx): i = (1, 0, 0); k = (0, 0, 1)

3. Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vector chỉ phương 

Hoạt động 3 trang 52 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho cặp vectơ chỉ phương a=(1;0;1) và b=(2;1;0) của mặt phẳng (P).

a) Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ n (n khác 0) vuông góc với cả hai vectơ a và b (Hình 6)

b) Vectơ n có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không?

Đáp án chuẩn:

a)

b) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Luyện tập-vận dụng 3 trang 52 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong Ví dụ 3, vectơ   có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Hoạt động 4 trang 52 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-1;2) và có vectơ pháp tuyến là Giả sử (M(x;y;z)) là một điểm tuỳ ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7).

a) Tính tích vô hướng theo x, y, z.

b) Toạ độ (x; y, z) của điểm M có thoả mãn phương trình: hay không?

Đáp án chuẩn:

a)

b) Thỏa mãn

Luyện tập vận dụng 4 trang 54 sgk toán 12 tập 2 cd

Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng sau:

a) (P): x-y=0;

b) (Q): z-2=0

Đáp án chuẩn:

a)  

b)   

III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN

1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua 1 điểm và biết vector pháp tuyến 

Hoạt động 5 trang 54 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm có   là vectơ pháp tuyến. Giả sử M(x;y;z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9).

a) Tính tích vô hướng  

b) Hãy biểu diễn theo và A,B,C

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Luyện tập-vận dụng 5 trang 54 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hai điểm M(2; 1; 0) và N(3; 0; 1). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.

Đáp án chuẩn:

2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua 1 điểm và biết được cặp vector chỉ phương

Hoạt động 6 trang 55 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1:3:-2) có cặp vectơ chỉ phương là và

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm (1; 3;-2), biết vectơ pháp tuyến

Đáp án chuẩn:

a)

b) (P):

Luyện tập-vận dụng 6 trang 55 sgk toán 12 tập 2 cd

 Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm (). Lập phương trình mặt phẳng (P), biết mặt phẳng đó:

a) Vuông góc với trục Ox,

b) Vuông góc với trục Oy;

c) Vuông góc với trục Oz.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

 Hoạt động 7 trang 55 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho ba điểm cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).

a) Tìm toạ độ của các vectơ Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm (H(-1;1;2) biết cặp vectơ chỉ phương là

Đáp án chuẩn:

a) H, I, K không thẳng hàng.

b)

Luyện tập-vận dụng 7 trang 56 sgk toán 12 tập 2 cd

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; 2; 1), N(0; 3; 2) và P(-1; 0; 0)

Đáp án chuẩn:

IV. ĐIỀU KIỆN SONG SONG, VUÔNG GÓC CỦA 2 MẶT PHẲNG

1. Điều kiện song song của 2 mặt phẳng

Hoạt động 8 trang 57 sgk toán 12 tập 2 cd

 Cho mặt phẳng (P₁):

Và mặt phẳng (P₂):

a) Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (Hình 14). Tìm liên hệ giữa và

b) Tìm hệ số tự do D₁, D₂ lần lượt của 2 phương trình (1), (2). So sánh D₁ và 2D₂

c) Nêu vị trí tương đối của 2 mặt phẳng (P₁), (P₂).

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c) Hai mặt phẳng // và không trùng nhau.

Luyện tập-vận dụng 9 trang 58 sgk toán 12 tập 2 cd

Chứng minh rằng các mặt phẳng:

(P): (x-m=0)

(Q): (y-m=0)

(R): (z-m=0)

lần lượt song song với các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy).

Đáp án chuẩn:

(P)//(Oyz)

(Q)//(Oxz)

(R)//(Oxy)

2. Điều kiện vuông góc của 2 mặt phẳng

Hoạt động 9 trang 58 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là:

và mặt phẳng có phương trình tổng quát là:

Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng Hai vectơ có vuông góc với nhau hay không?

Đáp án chuẩn:

Vectơ vuông góc với nhau.

Luyện tập-vận dụng 10 trang 59 sgk toán 12 tập 2 cd

Chứng minh rằng hai mặt phẳng (Ozx) và (P): x + 2z - 3 = 0 vuông góc với nhau.

Đáp án chuẩn:

(Ozx) ⊥ (P): x + 2z - 3 = 0 

V. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Hoạt động 10 trang 59 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là với là vecto pháp tuyến. Cho điểm Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P)

a) Tính toạ độ của theo

b) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ           

Từ đó, hãy suy ra rằng

=

c) Tính các độ dài theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M₀(2;3;4) đến mặt phẳng (P).

Đáp án chuẩn:

 a)

b) // =>

c) ; ;

Hoạt động 11 trang 60 sgk toán 12 tập 2 cd

Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm M(a, b, c) đến các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt bằng |a|,|b|,|c|

Đáp án chuẩn:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oyz):

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Ozx):

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy):

Luyện tập-vận dụng 12 trang 60 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho mặt phẳng và mặt phẳng

a) Chứng minh rằng:

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song,

Đáp án chuẩn:

a)  

b)

BÀI TẬP

Bài 1 trang 63 sgk toán 12 tập 2 cd

 Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

Đáp án chuẩn:

Bài 2 trang 63 sgk toán 12 tập 2 cd

Mặt phẳng x + 2y - 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

A. = (2; -3; 4).

B. = (1; 2; 3).

C. = (1; 2; -3).

D. = (1; 2; 4).

Đáp án chuẩn:

C. = (1; 2; -3).

Bài 3 trang 63 sgk toán 12 tập 2 cd

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3;-4;5) và nhận làm vectơ pháp tuyến.

Đáp án chuẩn:

Bài 4 trang 63 sgk toán 12 tập 2 cd

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm (K(-1;2;3) và nhận hai vectơ và làm cặp vectơ chỉ phương.

Đáp án chuẩn:

Bài 5 trang 63 sgk toán 12 tập 2 cd

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua:

a) Điểm I (3; −4; 1) và vuông góc với trục Ox,

b) Điểm K(-2;4;-1) và song song với mặt phẳng (Ozx);

c) Điểm K(-2;4;-1) và song song với mặt phẳng (Q): 3x+7y+10z+1=0.

Đáp án chuẩn: 

a)  x = 3 

b)  y = 4 

c)

Bài 6 trang 63 sgk toán 12 tập 2 cd

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 1), B(0; 4; 0), C(2; 2; 0).

Đáp án chuẩn:

Bài 7 trang 63 sgk toán 12 tập 2 cd

 Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (P), biết (P) đi qua ba điểm A(5; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).

Đáp án chuẩn: 

Bài 8 trang 64 sgk toán 12 tập 2 cd

Cho hai mặt phẳng

a) Chứng minh rằng

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 9 trang 64 sgk toán 12 tập 2 cd

a) Cho hai mặt phẳng Chứng minh rằng

b) Cho mặt phẳng và điểm M(1; 1; -6). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Đáp án chuẩn:

a)  

b)

Bài 10 trang 64 sgk toán 12 tập 2 cd

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0;0;0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).

a) Tìm toạ độ điểm C.

b) Viết phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

Đáp án chuẩn:

a) C(2;3;0)

b)

c)

Bài 11 trang 64 sgk toán 12 tập 2 cd

Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.

a) Tìm tọa độ của điểm B.

b) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC).

c) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE).

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

Bài 12 trang 64 sgk toán 12 tập 2 cd

Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2,5), D(4; 0; 2,8).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng không?

Đáp án chuẩn:

a)

b) 4 điểm A,B,C,D không thẳng hàng