Slide bài giảng toán 10 kết nối tri thức bài 22: Ba đường conic

Tóm lược nội dung

BÀI 22.BA ĐƯỜNG CONIC

1. ELIP

Bài 1: Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ tren một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín. 

a. Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b. Trong quá trinh đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F₁, F₂ có thay đổi không? Vì sao?

Trả lời rút gọn:

a) Đường nhận được liên hệ với 7.17b.

b) Tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F₁, F₂ không thay đổi vì nó luôn=  độ dài dây.

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Trả lời rút gọn:

Xét tam giác có: (bất đẳng thức tam giác) => .

Bài 3: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm. Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Trả lời rút gọn:

Ta có vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi lần lượt là và .

quãng đường bi đi được là:

Theo tính chất hình elip thì , không đổi

=> độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Bài 4: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , tia Ox trùng tia OF₂ 

a. Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi: 

Trả lời rút gọn:

a) Vì , mà O là trung điểm của

=> và

b) Giả sử M thuộc elip (E) ta chứng minh:  

M thuộc elip (E) 

=>  ⇔

Giả sử ta chứng minh M thuộc elip (E).

  =>

⇒ M thuộc elip (E).

Bài 5 : Cho elip có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Trả lời rút gọn: 

.

Vậy elip có hai tiêu điểm là và  và .

Bài 6 : Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình .

Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Trả lời rút gọn:

75cm trên thực tế ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5 

tọa độ

 nên

.

2. HYPEBOL

Bài 1: Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁,F_2.

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁- MF₂= 686 (m) hay không ?

Trả lời rút gọn:

a) Giả sử nơi phát ra tín hiệu âm thanh là tại vị trí điểm M. 

Khi đó MF₁ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁ và MF₂ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₂.

Gọi t₁ là thời gian âm thanh phát từ M đến F₁, t₂ là thời gian âm thanh phát từ M đến F₂. 

Ta có t₁ – t₂ = 2. 

Vận tốc âm thanh là 343 m/s. 

=> MF₁ = 343t₁; MF₂ = 343t₂. 

=> MF₁ – MF₂ = 343.t₁ – 343.t₂   = 686 (m). 

=> MF₁ – MF₂ = 686 (m). 

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁ – MF₂ = 686 (m). 

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Trả lời rút gọn:

Xét tam giác có: => .

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Trả lời rút gọn: 

Ta có .

Vì

là hình bình hành

.

Tương tự

=> là hình chữ nhật

.

Từ đó: (bất đẳng thức tam giác).

Vậy A,B,C,D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Bài 4: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , .Tia Ox trùng với tia OF₂.Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁,F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

Trả lời rút gọn:

a) Vì , mà O là trung điểm của

  và

b) Giả sử M thuộc hypebol (H) ta chứng minh:  

M thuộc elip (E) =>

Giả sử ta chứng minh M thuộc hypebol (H)

  =>

⇒ M thuộc hypebol (H).

Bài 5 : Cho (H):. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Trả lời rút gọn:

Có: .

Vậy hypebol có và  và

3. PARABOL

Bài 1 : Cho parabol (P): y = . Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Trả lời rút gọn:

,

+ Giả sử , ta chứng minh M(x;y) thuộc (P).

Vậy M thuộc (P)

+ Giả sử M(x;y) thuộc (P), ta chứng minh

M thuộc hay thay vào biểu thức MF có: 

Vậy

Bài 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27)

a. Nêu tọa độ của F và phương trình của Δ

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi 

Trả lời rút gọn:

a) Do là trung điểm , mà => .

Đường thẳng Δ đi qua và vuông góc với trục nên có phương trình:

b) Ta có:

+ Giả sử M thuộc (P), ta chứng minh

 M thuộc

+ Giả sử

Ta chứng minh M thuộc (P)

Vậy M thuộc (P).

Bài 3: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo. Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Trả lời rút gọn:

( là bán kính đảo).

Gọi là đường bờ biển. Gọi là đường thẳng nằm tròn đất liền, song song với d, cách d một khoảng

Vậy tập hợp các điểm thuộc đường parabol có tiêu điểm là , đường chuẩn là . Vậy đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).

4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

Bài 1:  Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc  (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Trả lời rút gọn:

Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự.

, nên tiêu cự là .

Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm. 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.19: Cho elip có phương trình . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Trả lời rút gọn:

,  

  và  

Bài 7.20: Cho hypebol có phương trình: . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Trả lời rút gọn:

 ,  

Tiêu điểm và  

Tiêu cự

Bài 7.21: Cho parabol có phương trình: y² = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Trả lời rút gọn:

nên .

Tiêu điểm và đường chuẩn .

Bài 7.22: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0).

Trả lời rút gọn:

Elip (E) có dạng với a>b>0

+ (E) đi qua A(5;0) 

+ (E) đi qua (3;0) nên

(E):

Bài 7.23: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).

Trả lời rút gọn:

Phương trình parabol có dạng: .

đi qua ⇒

.

Bài 7.24: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Trả lời rút gọn:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB. 

và

Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên

 .

Gọi phương trình chính tắc của hypebol có dạng:

với a, b > 0.

Do .

Do hai tiêu điểm là: và  nên

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là:

Bài 7.25 : Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol (P) của khúc của cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B.

a. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.

Trả lời rút gọn:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ O(0; 0) (như hình vẽ).

a) Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế thì tọa độ các điềm là: và thuộc vào parabol có dạng

Thay tọa độ điểm A:

Vậy parabol có dạng:

b) Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế thì tọa độ các điềm là: A(0,02; -0,2) và B(0,02; 0,2) thuộc vào parabol có dạng

Thay tọa độ điểm A:  

Vậy parabol có dạng: