Slide bài giảng toán 10 kết nối bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Tóm lược nội dung

BÀI 11.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Bài 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ  vàHãy tìm số đo các góc giữa và và

Trả lời rút gọn: 

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc CBD =.

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc ADB =

Bài 2: Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0^o , bằng 180^o?

Trả lời rút gọn: 

Góc giữa hai vectơ = khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ = khi hai vectơ ngược hướng.

Bài 3: Cho tam giác đều ABC. Tính

Trả lời rút gọn: 

Vẽ , khi đó ADBC là hình bình hành

Do AD//BC =>

Vậy

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ  là một số dương? Là một số âm?

Trả lời rút gọn: 

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số dương khi góc giữa hai vectơ là góc > và < .

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số âm khi góc giữa hai vectơ là góc > và <.

Bài 2: Khi nào thì

Trả lời rút gọn: 

Nên thì , hay là cùng phương.

Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính  theo a, b,c.

Trả lời rút gọn: 

Theo định lí cô sin

Từ đó:

3.BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 1 : Cho hai vectơ cùng phương  =(x;y) và =(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức =k(x² + y²) theo từng trường hợp sau:

a. =

b. ≠ và k ≥0

c.  ≠ và k <0.

Trả lời rút gọn:

a)

=

Lại có:

=> .

b) Vì nên hai vectơ cùng hướng

.

=> .

c) Vì nên hai vectơ ngược hướng

.

=> .

Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ không cùng phương =(x;y) và =(x′;y′).

a. Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho

b. Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c. Tính theo tọa độ của A, B.

Trả lời rút gọn:

a) A(x; y) và B(x'; y')

b)

c) 

Bài 3 : Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Trả lời rút gọn:

.

Bài 4 : Cho ba vectơ ₁; y₁) , ₂; y₂), ₃; y₃)

a. Tính theo tọa độ của các vectơ

b. So sánh 

c. So sánh   và

Trả lời rút gọn:

a.

= .

= = .

b.

  = .

c. 

=

=.

=> =

Bài 5 : Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh rằng

b. Tìm tọa độ của H.

c. Giải tam giác ABC.

Trả lời rút gọn:

a) 

Vì H là trực tâm của tam giác ABC =>

=>

b) H(x; y)

nên:

=> H(6; 2)

c)

Bài 6 : Một lực không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực  được phân tích thành hai lực thành phần là  và . ( + .).

a. Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực và (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực và .

b. Giả sử các lực thành phần và . tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực  

Trả lời rút gọn:

a) Công sinh bởi lực bằng:  

Công sinh bởi lực bằng  

Công sinh bởi lực bằng: 

b) 

Vì có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực bằng .

 Từ a), suy ra công sinh bởi lực bằng:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.21 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a. = (−3;1), =(2;6)

b. =(3;1), =(2;4)

c. =(;1), =(2;).

Trả lời rút gọn:

a) 

=>

b) Từ giả thiết

và

=> =>

c) Từ giả thiết 

và .

=> =>

Bài 4.22: Tìm điều kiện của , để:

a.

b.

Trả lời rút gọn:

a)

  => hai vectơ và cùng hướng.

b)

 => hai vectơ và ngược hướng.

Bài 4.23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(-4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a. Tính  theo t.

b. Tìm t để

Trả lời rút gọn:

a. 

= (t−1;−2) và = (t+4;−3)

=(t−1).(t+4)+2.3= t² +3t + 2

b.  => đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BM.

=>

=>  t² +3t + 2 = 0

=>        t = −2 và  t = −1. 

Bài 4.24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).

a. Giải tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Trả lời rút gọn:

a) Từ giả thiết

=> .

.

=> 53⁰7’48’’ ,  : 63⁰26’6’’

b) Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC. 

=>

và . 

Từ đó và (I) ta có hệ phương trình

. 

=>

Bài 4.25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

Trả lời rút gọn:

Do  

Bài 4.26: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: .

Trả lời rút gọn:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên 

Xét

=

=

=> .