Slide bài giảng toán 10 kết nối bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Tóm lược nội dung

BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

Bài 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a. Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b. Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c. Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hương đông nam) thì có thể dụng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Trả lời rút gọn: 

a. Hình vẽ thể hiển sơ đồ đường đi của tàu

 Thời gian đi từ B đến C là 0,5 giờ.

b. 

AC= 28 cm, thì thực tế tàu cách cảng Vân Phong 28 km

c. Có thể dùng Định lí Pythagore vì nếu tàu chuyển hướng sang nam thì góc ABC là góc vuông

Bài 2: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a. Tính a² theo BD² và CD² .

b. Tính a² theo b, c và DA.

c. Tính DA theo c và cos A.

d. Chứng minh a² = b² + c² -2b.c.cos A.

Trả lời rút gọn: 

a) Ta có định lí Pythagore cho tam giác vuông BDC:

b) 

c) 

=-c.cosA

d) 

Theo b (1)

 thay DA = - c. cosA vào (1) được:

.

Bài 3: Định lí Pythagore có phải là môt trường hợp đặc biết của Định lí Cosin hay không?

Trả lời rút gọn: 

Định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của Định lí Côsin, khi góc A = 90^o.

Bài 4: Từ Định lí cosin,hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.        

Trả lời rút gọn: 

Bài 5 : Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và  .Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác. 

Trả lời rút gọn: 

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có:

Suy ra BC  .

,

=> .

=> .

Bài 6 : Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Trả lời rút gọn: 

Do tàu đi theo hướng đông đến B rồi chuyển hướng đông nam đến C nên góc .

2. ĐỊNH LÍ SIN

Bài 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Trả lời rút gọn: 

a) 

(do )

b) 

(do sin A = sin M vì ).

Bài 2: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và .Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cách cạnh còn lại của tam giác.

Trả lời rút gọn: 

Theo định lí sin, ta có:

 => .

Do , nên .

Ta có: .

=> a  .

3.GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Bài 1 : Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, 

Trả lời rút gọn: 

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC

  a² = b² + c² -2.b.c.cos A ⇒a≈54

Áp dụng định lí sin

54sin87⁰=32sinB=45sinC=2R

B≈36⁰,C≈57⁰

Bài 2: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Trả lời rút gọn: 

B1: Từ một vị trí ở vùng quan sát, ngắm hai đỉnh núi và đo góc giữa hai hướng ngắm đó.

B2: Tương tự Ví dụ 4, tính khoảng cách từ vị trí vừa ngắm tới các đỉnh núi.

B3: Dùng định lí côsin để tính toán.

4.CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a. Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b. Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Trả lời rút gọn: 

a) 

=++

b) 

Bài 2 : Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a. Biểu thị BD theo AB và sin A.

b. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Trả lời rút gọn: 

a)

 BD = AB.sin A

b)

Bài 3 : Tính diện tích của tam giác ABC có b = 2,

Đáp án:

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

+)

+) 

.

Bài 4 : Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Trả lời rút gọn: 

sin A có thể tính theo độ dài của các cạnh tam giác ABC.

Theo định lí côsin

Bài 5 : Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Trả lời rút gọn: 

Áp dụng công thức Heron

(m²).

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 3.5:  Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r.

Trả lời rút gọn: 

+)

+)

+) .

Bài 3.6: Cho tam giác ABC có a = 10,  .Tính R, b, c.

Trả lời rút gọn: 

+)

+)

+) .

Bài 3.7: Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết ,c = 6.

Trả lời rút gọn: 

+)

+) ;

+)

+)

Bài 3.8: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70^oE với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a. Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b. Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Trả lời rút gọn: 

Sau 90 phút, tàu cá chạy từ đến với vận tốc , nên .

Sau 2 giờ, tàu trôi từ đến với vận tốc , suy ra . 

Vì từ đến tàu chạy theo hướng và từ đến tàu trôi theo hướng , nên .

a)

 Theo định lí côsin, ta có .

=> .

b) Gọi hướng từ cảng đến vị trí neo đậu là hướng . Khi đó, do nên

Áp dụng định lí sin cho tam giác , ta có:

=> . Vậy hướng từ cảng tới đảo nơi tàu neo đậu là .

Bài 3.9 : Trên nóc một tòa nhà có một ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50^o và 40^o so với phương nằm ngang.

a. Tính các góc của tam giác ABC.

b. Tính chiều cao của tòa nhà.

Trả lời rút gọn: 

a) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Do  

=>

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác

=>

Từ đó chiều cao của toà nhà xấp xỉ bằng:

Bài 3.10: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Trả lời rút gọn: 

• Tại nơi ta ngắm là vị trí điểm A đặt một cọc tiêu và đặt một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB.

• Gọi CD là độ dài của đảo, ta ngắm để đo các góc tại đỉnh A và B. => tính được AD trong tam giác ABD, tính AC trong tam giác ABC.

• Tính được CD trong tam giác ACD.

Bài 3.11: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định là đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilomet so với đường cũ?

Trả lời rút gọn: 

Áp dụng định lí côsin cho tam giác , ta được:

=> .

Áp dụng định lí sin cho tam giác

=> .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác

=> .

Bởi vậy, đường mới sẽ giảm so với đường cũ

.