Slide bài giảng toán 10 kết nối bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Tóm lược nội dung

BÀI 20.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

1.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

                Δ₁: x - 2y + 3 = 0,

                Δ₂: 3x - y - 1 = 0.

a. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b. Giải hệ

c. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Trả lời rút gọn:

a) Thay vào phương trình đường thẳng

(đúng)  

Thay vào phương trình đường thẳng  

(đúng)  

b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm

c) Toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình trên.

Bài 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Trả lời rút gọn:

a)   =>vectơ pháp tuyến không cùng phương.

Vậy hai đường thẳng và cắt nhau.

b), => hai vectơ pháp tuyến cùng phương 

và song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm thuộc nhưng không thuộc

Vậy hai đường thẳng và song song.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Trả lời rút gọn:

2 đường thẳng cắt nhau tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Bài 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau Δ1 và Δ2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến ,. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a. Góc φ  và

b. cosφ và

Trả lời rút gọn:

a)

b)

Bài 3: Tính góc giữa hai đường thẳng:   Δ₁: x + 3y + 2 = 0 và Δ₂: y = 3x + 1

Trả lời rút gọn:

Ta có:

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng và . 

Bài 4 : Tính góc giữa hai đường thẳng: 

Trả lời rút gọn:

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng và

Bài 5: Cho đường thẳng Δ: y = ax + b, với a ≠ 0.

a. Chứng minh rằng Δ cắt trục hoành.

b. Lập phương trình đường thẳng Δ0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với Δ.

c. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa αΔ và αΔ0.

d. Gọi M là giao điểm của Δ0 với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ M theo  x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tanαΔ=a.

Trả lời rút gọn:

a) Cho

luôn cắt trục hoành tại điểm có toạ độ

b) Vì đường thẳng đi qua điểm O(0;0) nên có dạng: .

Mà  song song hoặc trùng với nên

c) Do đường thẳng song song với Δ

 => . (hai góc ở vị trí đồng vị).

d)

Do thuộc =>  

Có  

Vậy .

3.KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1 : Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến (a;b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ

a. Chứng minh rằng:

b. Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:

c. Chứng minh rằng HM =

Trả lời rút gọn:

a) Do và có cùng phương nên

b)

Mà =>  

c) Từ câu a và câu b ta có: 

=>

Bài 2 : Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Trả lời rút gọn:

- Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là độ dài đoạn MH bằng 2 đơn vị độ dài.

- Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Bài 3 : Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng

Trả lời rút gọn:

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua có  là :       hay   

Vậy khoảng cách từ M đến là 1.

Bài 4 : Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Trả lời rút gọn:

a) Tọa độ các điểm:

Đường thẳng có vecto chỉ phương

Chọn )

Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là: 

.

b) Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.

Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.7: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Trả lời rút gọn:

a)

Hệ có vô số nghiệm

b) 

Hệ vô nghiệm

c) 

Hệ có 1 nghiệm duy nhất cắt nhau.

Bài 7.8: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

Trả lời rút gọn:

a)

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng và

b)

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng và

Bài 7.9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0 ;-2) và đường thẳng Δ: x + y - 4 = 0.

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ

b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với Δ.

c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với Δ.

Trả lời rút gọn:

a)  

b) Đường thẳng song song với  

Phương trình đường thẳng đi qua và có là: 

c) Đường thẳng vuông góc với  

Phương trình đường thẳng đi qua và có là: 

Bài 7.10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A (1; 0), B (3; 2) và C (-2; 1).

a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

Trả lời rút gọn:

a) 

Phương trình đường thẳng BC đi qua B(3;2) có là:

b)

Bài 7.11: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Trả lời rút gọn:

Bài 7.12: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Trả lời rút gọn:

Gọi J là vị trí âm thanh phát đi.

 J cách đều O, A, B => J là giao của hai đường thẳng trung trực tương ứng của OA, OB.

Phương trình của đi qua là trung điểm OA và có là: 

Phương trình của đi qua là trung điểm AB và có là: