Xác định hệ số để hệ phương trình có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm

a, Thay x = $\sqrt{2}$; y = $-\sqrt{2}$ vào hệ, ta có: $\left\{\begin{matrix}2\sqrt{2}+\sqrt{2}a=b &  & \\ \sqrt{2}a-\sqrt{2}b=1 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}2\sqrt{2}+\sqrt{2}b=b-1 &  & \\ \sqrt{2}a-\sqrt{2}b=1 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}b=\frac{2\sqrt{2}+1}{1-\sqrt{2}} &  & \\ \sqrt{2}a-\sqrt{2}b=1 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}b=-(5+3\sqrt{2}) &  & \\ a=\frac{1+b\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}b=-(5+3\sqrt{2}) &  & \\ a=\frac{-5(\sqrt{2}+2)}{2} &  & \end{matrix}\right.$

b, Hệ phương trình đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}(ax+b) &  & \\ ax+by=1 &  & \end{matrix}\right.$

Thay biểu thức của x vào phương trình thứ hai ta được:

a.$\frac{1}{2}$(ay +b) + by = 1 <=> $\left ( \frac{a^{2}}{2}+b \right )y=1-\frac{ab}{2}$

Hệ đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}\frac{a^{2}}{2}+b=0 &  & \\ 1-\frac{ab}{2}=0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}b=-\frac{a^{2}}{2} &  & \\ 1-\frac{ab}{2}=0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}b=-\frac{a^{2}}{2} &  & \\ a^{3}=-4 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}a=-\sqrt[3]{4} &  & \\ b=-\sqrt[3]{2} &  & \end{matrix}\right.$