Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải  bài 5 :

Đề bài :

Cho a , b ,c là 3 số thực dương thỏa mãn $a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$ . Chứng minh rằng : $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Với  a , b ,c là 3 số thực dương , ta có :

+  $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{9}{a+2b}$          (1)

<=>  $(a+2b)(b+2a)\geq 9ab$

<=>  $2a^{2}-4ab+2a^{2}\geq 0<=>2(a-b)^{2\geq 0}$    ( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a = b .

+  $a+2b\leq \sqrt{3(a^{2}+2a^{2})}$                         (2)

<=>   $(a+2b)^{2}\leq 3(a^{2}+2b^{2})$

<=>  $2a^{2}-4ab+2a^{2}\geq 0<=> 2(a-b)^{2}\geq 0$    ( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a = b .

Từ (1) , (2)  =>  $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^{2}+2b^{2})}}\geq \frac{3}{c}$

=>  $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$ và Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c .    ( đpcm )