Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường THPT chuyên Thái Bình

Lời giải bài 5 :

Đề ra :

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   $Q=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$ .

Lời giải chi tiết:

Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1, ta đặt : $\left\{\begin{matrix}x=a^{3} &  & \\ y=b^{3} &  & \\ z=c^{3} &  & \end{matrix}\right.$

=>  $a^{3}.b^{3}.c^{3}=(abc)^{3}=1$  =>  abc = 1 .

Khi đó , ta có : 

• $x+y+1=a^{3}+b^{3}+abc=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})+abc\geq (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)$
• $y+z+1\geq bc(a+b+c)$
• $x+z+1\geq ac(a+b+c)$

=>    $Q=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\leq  \frac{abc}{ab(a+b+c)}+\frac{abc}{bc(a+b+c)}+\frac{abc}{ca(a+b+c)}=1$

Vậy $Q_{max}=1$ khi a = b= c = 1<=> x = y =z =1 .