Giải phương trình bằng cách nhân với biểu thức liên hợp

a, Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{x^{2}+5}=3x-5+\sqrt{x^{2}+5}$ có nghiệm ó $3x-5\geq 0$ <=> $x\geq \frac{5}{3}$

$\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$ <=> $\sqrt{x^{2}+12}-4=3x-6+\sqrt{x^{2}+5}-3$

<=> $\frac{x^{2}+12-16}{\sqrt{x^{2}+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^{2}+5-9}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$

<=> $\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x^{2}+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$

<=> $\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x^{2}+12}+4}=3(x-2)+\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$

<=> (x - 2)\left (\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}-3  \right )$

<=> x – 2 = 0 (1)  hoặc $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}-3 $ = 0 (2)

<=> x = 2 (thỏa mãn)

Ta có: Với $x\geq \frac{5}{3}$ thì $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}-3 $ < 0

Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

b, $\sqrt{3x^{2}-5x+1}-\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{3(x^{2}-x-1)}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

<=> $\sqrt{3x^{2}-5x+1}-\sqrt{3(x^{2}-x-1)}= \sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

<=> $\frac{3x^{2}-5x+1-3(x^{2}-x-1)}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}=\frac{x^{2}-2-(x^{2}-3x+4)}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$

<=> $\frac{-2x+4}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$

<=> $\frac{-2(x-2)}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$

<=> $(x-2).\frac{2}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}+\frac{3}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}=0$

Ta có $\frac{2}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}+\frac{3}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}>0$

<=>  x – 2 = 0 <=> x = 2 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

c, ĐKXĐ: $x\geq -2$

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$ ta được:

$[(x+3)-(x+2)](1+\sqrt{x^{2}+5x+6})= sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

<=> $1+\sqrt{(x+3)(x+2)}= sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$ <=> $(\sqrt{x+3}-1)( \sqrt{x+2}-1)=0$

<=> $\sqrt{x+3}-1=0$ hoặc $\sqrt{x+2}-1=0$

<=> x + 3 = 1 hoặc x + 2 = 1 <=> x = -2 hoặc x = -1

Kết hợp với điều kiện $x\geq -2$ => phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = -2

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-2; -1}

d, ĐKXĐ: $x\geq -\frac{9}{2};x\neq 0$

$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}=x+9$

<=> $\frac{2x^{2}.(3+\sqrt{9+2x})^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}(3+\sqrt{9+2x})^{2}}=x+9$

<=> $\frac{2x^{2}.(18+2x+6\sqrt{9+2x})}{4x^{2}}=x+9$

<=> $9+x+3\sqrt{9+2x}=x+9$

<=> $3\sqrt{9+2x}=0$ ó 9 + 2x = 0 <=> x = $\frac{-9}{2}$

Kết hợp với điều kiện $x\geq -\frac{9}{2};x\neq 0$ => x = $\frac{-9}{2}$ là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {$\frac{-9}{2}$}