Chứng minh hệ thức hình học

4. Gọi độ dài cạnh của hình vuông là AD = DC = a > 0

a, Xét tam giác ADI và tam giác CDL có:

• $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{0}$
• AD = CD = a
• $\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{3}}$ (cùng phụ với $\widehat{D_{2}}$

=> $\Delta $ADI = $\Delta $CDL (g.c.g) => DI = DL

Vậy tam giác DIL cân tại D

b, Áp dụng hệ thức về đường cao cho tam giác DKL vuông tại D ta có:

$\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$

<=> $\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$

Vì a không đổi nên $\frac{1}{a^{2}}$ không đổi

=> $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ không đổi => Đpcm

5. 

Áp dụng hệ thức về cạnh cho tam giác ABC vuông tại A, ta được

$AC^{2}=CH.CB$ (1)

$AB^{2}=BH.CB$ (2)

Chia (1) cho (2) theo từng vế, thu được:

$\frac{CH}{BH}=\frac{AC^{2}}{AB^{2}}$  (3)

a, Áp dụng hệ thức về cạnh vào tam giác AHC và AHB vuông tại H, ta được:

$CH^{2}=CE.CA$ (4)

$BH^{2}=BD.AB$ (5)

Chia (4) cho (5) theo từng vế, ta được:

$\frac{CE}{BD}=\frac{CH^{2}}{BH^{2}}.\frac{AB}{CA}$ (6)

Thế (3)vào (6) ta có:  $\frac{CE}{BD}=(\frac{CA}{AB})^{3}$ (đpcm)

b, Nhân (4) với (5) theo từng vế, ta được:

$(BH.CH)^{2}=BD.CE.BA.CA$ (7)

Lại có $AH^{2}=BH.CH$ (8); AH.BC = BA.CA (9)

Thay (8) và (9) vào (7) thu được:

$AH^{4}=BD.CE.AH.BC$ <=> $AH^{3}=BD.CE.BC$

c, Từ (4) và (5) suy ra:

$CH^{2}.CB^{2}=CE.CA.BC^{2}$ <=> $CA^{4}=CE.CA.BC^{2}$ <=> CE = $\frac{CA^{3}}{BC^{2}}$

$BH^{2}.BC^{2}=BD.BA.BC^{2}$ <=> $BA^{4}=BD.BA.BC^{2}$ <=> BD = $\frac{BA^{3}}{BC^{2}}$

=> $CE^{2}=\frac{CA^{6}}{BC^{4}}$ (10) và $BD^{2}=\frac{BA^{6}}{BC^{4}}$ (11) 

Nên $BD^{2}+CE^{2}$ = $\frac{BA^{6}+CA^{6}}{BC^{4}}$

= $\frac{(BA^{2}+CA^{2})^{3}-3BA^{2}.CA^{2}.(BA^{2}+CA^{2})}{BC^{4}}$

= $\frac{BC^{6}-3BC^{4}.AH^{2}}{BC^{4}}$ = $BC^{2}-3AH^{2}$

Vậy 3AH$^{2}$ + BD$^{2}$ + CE$^{2}$ = BC$^{2}$ (đpcm)

d, Từ (10) và (11) suy ra:

$CA^{6}=CE^{2}.BC^{4}$ và $BA^{6}=CE^{2}.BC^{4}$ 

=> $CA^{2}=\sqrt[3]{CE^{2}.BC^{4}}$ và $BA^{2}=\sqrt[3]{BD^{2}.BC^{4}}$

Do đó $BC^{2}=CA^{2}+BA^{2}=\sqrt[3]{CE^{2}.BC^{4}}+\sqrt[3]{BD^{2}.BC^{4}}$ = $\sqrt[3]{BC^{6}}$ (12)

Chia cả hai vế của (12) cho $\sqrt[3]{BC^{4}}$ > 0 ta được:

$\sqrt[3]{BD^{2}}+\sqrt[3]{CE^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}$ (đpcm)