Bài tập về xác định đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước

9. Q(x) có dạng Q(x) = ax + b

Q(1) = a + b = $\frac{7}{2}$ (1)

Q(-1) = -a + b = $\frac{-5}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 3; b = $\frac{1}{2}$

Vậy Q(x) = 3x + $\frac{1}{2}$

10. P(x) = ax + b

$\Rightarrow $ P(x₁) = ax₁ + b; P(x₂) = ax₂ + b; P(x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂) + b

Ta có: P(x₁ + x₂) = P(x₁) + P(x₂)

$\Leftrightarrow $ a(x₁ + x₂) + b = ax₁ + b + ax₂ + b

$\Leftrightarrow b = 0$

Vậy với a bất kì và b = 0 thì thỏa mãn bài toán

11. 

a) P(x) = $\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}-1$

(với a, b, c đôi một khác nhau)

Xét P(a) = $\frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} + \frac{(a-a)(a-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}-1$

         = $1 - 1$

         = 0

Do đó x = a là một nghiệm của P(x)

Tương tự ta có x = b; x = c là các nghiệm của P(x)

Vậy P(x) có ít nhất 3 nghiệm

b) Ta thấy P(x) là đa thức bậc 2 mà có ít nhất 3 nghiệm.

Do đó P(x) phải là đa thức không. Hay P(x) = 0 với mọi x.