Bài tập về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

1. 

Xét $\Delta $OMH và $\Delta $OMK vuông tại H và K có:

IH và IK là hai đoạn thẳng qua đỉnh góc vuông và trung điểm của cạnh huyền OM.

HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền OM của $\Delta $HOM nên HI = $\frac{1}{2}$OM

KI là trung tuyến ứng với cạnh huyền OM của $\Delta $KOM nên KI = $\frac{1}{2}$OM

Vậy OI = IM = IH = IK ( = $\frac{1}{2}$OM)

+) OI = IH nên I nằm trên đường trung trực của OH

+) OI = IK nên I nằm trên đường trung trực của OK

+) IH = IK nên I nằm trên đường trung trực của HK

+) IH = IM nên I nằm trên đường trung trực của HM

+) IK = IM nên I nằm trên đường trung trực của KM

+) OI = IM nên I nằm trên đường trung trực của OM

2. 

a) Nối MB, ta có M nằm trên đường trung trực của AB (giả thiết)

$\Rightarrow $ MA = MB

Xét $\Delta $CMB có: MC + MB > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

$\Rightarrow $ MC + MA > BC

b) Với ba điểm A, B, C cố định thì đoạn thẳng AB cố định nên đường trung trực của AB cũng cố định.

Điểm M di động trên đường thẳng a thì tổng độ dài của M đến hai mút của BC luôn luôn lớn hơn hoặc bằng BC. Tổng MB + MC nhỏ nhất là bằng độ dài BC.

Vậy M' là giáo điểm của BC với đường thẳng a (C, M', B thẳng hàng) thì ta có:

M'C + M'B = BC hay M'C + M'A = BC

3.

a) Xét $\Delta $ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC nên AM = $\frac{1}{2}$BC = MB = MC

Ta có MA = MB nên M nằm trên đường trung trực của AB (1)

Xét $\Delta $AKB vuông tại K có $\widehat{KAB}=45^{\circ}$ 

$\Rightarrow $ $\Delta $AKB vuông cân tại K $\Rightarrow $ KA = KB

$\Rightarrow $ K nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ đường thẳng KM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Tương tự ta có MI là đường trung trực của đoạn thẳng AC

b) Ta có : AB $\perp $ AC và IM $\perp $ AC (IM là đường trung trực của AC)

$\Rightarrow $ AB // IM

$\Rightarrow \widehat{B_{1}}=\widehat{M_{1}}$ (2 góc đồng vị)

AB $\perp $ AC và KM $\perp $ AB (IM là đường trung trực của AC)

$\Rightarrow $ AC // KM

$\Rightarrow \widehat{C_{2}}=\widehat{M_{2}}$ (2 góc đồng vị)

$\Rightarrow \widehat{B_{1}}+\widehat{C_{2}}=\widehat{M_{1}}+\widehat{M_{2}}$

Mà $\widehat{B_{1}}+\widehat{C_{2}}=90^{\circ}$ nên $\widehat{M_{1}}+\widehat{M_{2}}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{IKM}=90^{\circ}$

4. 

a) Xét $\Delta $BEI và $\Delta $BPI vuông tại I, có:

BI chung

$\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$

$\Rightarrow $ $\Delta $BEI = $\Delta $BPI (cạnh góc vuông - góc nhọn)

$\Rightarrow $ EI = IP

Ta có EI = IP nên I là trung điểm của EP

BO đi qua trung điểm I của EP và BO $\perp $ EP nên BO là đường trung trực của đoạn thẳng eP

Tương tự ta có $\Delta $CFK = $\Delta $CPK và suy ra được OC là đường trung trực của đoạn thẳng PF

b) Có:

$\Delta $BEI = $\Delta $BPI $\Rightarrow $ BE = BP

$\Delta $CFK = $\Delta $CPK $\Rightarrow $ CF = CP

$\Rightarrow $ BE + CF = BP + PC = BC

c) O nằm trên đường trung trực của EP nên OE = OP

   O nằm trên đường trung trực của FP nên OF = OP

$\Rightarrow $ OE = OF

$\Rightarrow $ O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF

$\Delta $ ABC cố định nên O cố định.

Vậy đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua điểm O cố định.