Bài tập về quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song
1. Cho $\widehat{xOy}=70^{\circ}$. Lấy điểm A trên Ox, điểm B trên Oy. Từ A kẻ đường thẳng song song với OB, từ B kẻ đường thẳng song song với OA, chúng cắt nhau tại C.
a) Tính số đo của góc $\widehat{ACB}$
b) Nối O và C. Hãy chứng tỏ $\Delta $OAC và $\Delta $OBC có các góc tương ứng bằng nhau.
2. Trong hình dưới, cho $\widehat{N}=\widehat{O}; \widehat{Q}=90^{\circ}; \widehat{B}=50^{\circ}$
a) Chứng tỏ rằng góc $\widehat{NMQ}=90^{\circ}$
b) Tính các góc $\widehat{AMN}; \widehat{QMB}$
3. Trong hình bên có AB // CD và $\widehat{BAE}=140^{\circ}; \widehat{AEC}=120^{\circ}$
a) Tính số đo của góc $\widehat{ECD}$
b) Hãy chứng tỏ $\widehat{EAB}+\widehat{ECD}+\widehat{AEC}=360^{\circ}$
4. Chứng tỏ rằng:
Nếu có hai đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một góc khác góc bẹt (mỗi đường thẳng vuông góc với một cạnh của góc) thì hai đường thẳng đó cắt nhau tại 1 điểm
1.
a) BC // OA $\Rightarrow \widehat{CBy}=\widehat{AOB}$ (hai góc đồng vị)
AC // OB $\Rightarrow \widehat{CBy}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong)
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{xOy}=70^{\circ}$
b) Xét $\Delta $ABC và $\Delta $OBC có:
AC // OB (theo đề bài) $\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{OAC}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
BC // OA (theo đề bài) $\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{OBC}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
Từ đó suy ra $\widehat{OAC}=\widehat{OBC}$ (1)
- Do OA // BC nên $\widehat{O_{1}}=\widehat{C_{2}}$ (hai góc so le trong) (2)
- Do AC // OB nên $\widehat{O_{2}}=\widehat{C_{1}}$ (hai góc so le trong) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
Các góc của $\Delta $AOC là: $\widehat{OAC}; \widehat{O_{1}}; \widehat{C_{1}}$
Các góc của $\Delta $OBC là: $\widehat{OBC}; \widehat{O_{2}}; \widehat{C_{2}}$
2.
a) Ta có: MN $\perp $ OA, OQ $\perp $ OA vậy MN // OQ (cùng vuông góc với OA)
Mà MQ $\perp $ QO, suy ra MQ $\perp $ MN (hai đường thẳng MN // QO mà MQ $\perp $ QO thì cũng phải vuông góc với đường thứ hai).
Vậy $\widehat{NMQ}=90^{\circ}$
b) MN // OQ $\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{AMN}=50^{\circ}$ (hai góc đồng vị)
Mà $\widehat{AMN}+\widehat{NMQ}+\widehat{QMB}=180^{\circ}$ (ba điểm A, M, B thẳng hàng)
$\Rightarrow 50^{\circ}+90^{\circ}+\widehat{QMB}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{QMB}=40^{\circ}$
3.
a) Từ E kẻ EF // AB, mà CD // AB nên EF // CD (cùng song song với AB)
Do AB // EF nên: $\widehat{EAB}+\widehat{AEF}=180^{\circ}\Rightarrow 140^{\circ}+\widehat{AEF}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{AEF}=40^{\circ}$
Mà $\widehat{AEC}=\widehat{AEF}+\widehat{FEC}\Rightarrow 120^{\circ}=40^{\circ}+\widehat{FEC}$. Do đó $\widehat{FEC}=80^{\circ}$
Do EF // CD nên $\widehat{FEC}+\widehat{ECD}=180^{\circ}\Rightarrow 80^{\circ}+\widehat{ECD}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{ECD}=100^{\circ}$
b) Ta có:
AB // EF nên $\widehat{BAE}+\widehat{AEF}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
EF // CD nên $\widehat{ECD}+\widehat{CEF}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
$\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{ECD}+\widehat{AEF}+\widehat{CEF}=360^{\circ}$
Mà $\widehat{AEF}+\widehat{CEF}=\widehat{AEC} \Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{ECD}+\widehat{AEC}=360^{\circ}$
4. Giả sử a và b không cắt nhau thì chúng trùng nhau hoặc song song với nhau.
a) Nếu chúng trùng nhau thì qua O kẻ được hai đường thẳng OA $\perp $ b và OB $\perp $ b (trái với tiên đề)
b) Nếu chúng song song với nhau
Theo giả thiết OA $\perp $ a mà a // b thì OA $\perp $ b
Theo đề bài ta có: OB $\perp $ b
Vậy qua O kẻ được 2 đường thẳng OA và OB cùng vuông góc với b (trái với tiên đề)
Vậy 2 đường thẳng a và b phải cắt nhau.
Bình luận